LES combinaison simple est l'un des groupes étudiés dans analyse combinatoire. Nous connaissons comme combinaison le nombre de tous les sous-ensembles de k éléments que nous pouvons former à partir d'un ensemble de non éléments.
Il est assez courant de voir des situations où l'on utilise la combinaison, par exemple, pour calculer tous les résultats possible dans les jeux de loterie ou de poker, et dans d'autres situations, comme dans l'étude des probabilités et statistique.
Un autre groupe très courant est l'arrangement. Ce qui différencie l'arrangement de la combinaison, c'est le fait que, dans l'arrangement, l'ordre des éléments est important, et dans la combinaison, l'ordre n'est pas important. Par conséquent, nous comparons la combinaison avec le choix des sous-ensembles.
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Qu'est-ce qu'une combinaison simple ?
En analyse combinatoire, le nombre de clusters possibles est étudié. Parmi ces regroupements, il y a ce qu'on appelle la combinaison simple. La combinaison simple n'est rien de plus que le
nombre de tous les sous-ensembles avec k éléments d'un ensemble donné, par exemple: la megassena, dans laquelle 6 numéros sont tirés au sort.Dans ce cas, vous pouvez voir que l'ordre dans lequel ces 6 numéros ont été choisis ne fait aucune différence, c'est-à-dire l'ordre n'a pas d'importance, ce qui fait de ce résultat un sous-ensemble. Cette caractéristique est fondamentale pour comprendre ce qu'est une combinaison et pour la différencier des autres groupements — dans la combinaison, l'ordre des éléments de l'ensemble n'a pas d'importance.
formule de combinaison simple
Les problèmes impliquant une combinaison sont calculés par une formule. la combinaison de non éléments tirés de k dans k é:
n → total des éléments de l'ensemble
k → nombre total d'éléments dans le sous-ensemble
Voir aussi: Principe de comptage additif - union d'éléments de deux ou plusieurs ensembles
Comment calculer une combinaison ?
En premier lieu, il est important de savoir quand un problème est une combinaison. Pour illustrer, trouvez toutes les combinaisons possibles des ensemble {A, B, C, D} avec deux éléments :
Liste des combinaisons avec deux éléments, ce sont: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} et {C, D}. Dans ce cas, il est possible de voir qu'il y a 6 combinaisons possibles, et il est également intéressant de noter que les sous-ensembles {A, B} et {B, A} sont égaux, car, dans la combinaison, l'ordre n'a pas d'importance .
Il s'avère qu'il n'est pas toujours possible de lister toutes les combinaisons possibles ou même qu'il n'est pas nécessaire, car le plus grand intérêt est dans le nombre de combinaisons et non dans la liste de chacun d'eux. Pour cela, il est très pratique d'utiliser la formule.
Exemple:
Une école tirera au sort trois billets, un pour chaque élève, parmi les 10 meilleurs des jeux olympiques de mathématiques. Après avoir terminé le test et connaître les 10 premières places, calculez les combinaisons possibles pour le résultat du tirage au sort.
Notez que, dans le résultat du tirage, l'ordre n'est pas important, nous travaillons donc avec un problème de combinaison.
Nous calculerons ensuite la combinaison de 10 éléments pris parmi 3 sur 3. En substituant dans la formule, nous devons :
Réalisons maintenant la simplification des factorielles. A ce stade, il est essentiel de maîtriser le calcul de la factoriel d'un nombre. Comme 10! est supérieur à n'importe laquelle des factorielles du dénominateur et, en regardant le dénominateur, 7! est le plus grand, faisons la multiplication de 10 par ses prédécesseurs jusqu'à atteindre 7!, pour qu'il soit possible de simplifier.
Le triangle de Pascal
L'un des instruments largement utilisés en analyse combinatoire, principalement pour calculer un Le binôme de Newton, est le triangle de Pascal. Ce triangle est construit à partir des résultats des combinaisons, une autre façon de représenter la combinaison de deux nombres est la suivante :
Le triangle de Pascal commence à la ligne 0 et à la colonne 0, en combinant 0 éléments pris de 0 à 0. Les lignes sont les mêmes que non, et les colonnes égales à k, formant la figure suivante :
Substituer les valeurs qui résultent des combinaisons :
A travers les lignes et les colonnes du triangle de Pascal, nous pouvons trouver la valeur de la combinaison que nous voulons. Si nécessaire, nous pouvons trouver les termes d'autant de lignes que nécessaire. Pour en savoir plus sur cette méthode de résolution, lisez le texte: Le triangle de Pascal.
Différence entre arrangement et combinaison
L'arrangement et la combinaison sont deux groupes d'égale importance étudiés en analyse combinatoire. Il est essentiel de connaître la différence entre chacun de ces groupes, c'est-à-dire si nous allons les calculer par un arrangement ou une combinaison.
Il s'avère que dans le combinaison, lors de l'assemblage des grappes, l'ordre des éléments de l'ensemble n'a pas d'importance., c'est {A, B} = {B, A}, mais il y a des cas où l'ordre est important dans le regroupement, dans ce cas nous travaillons avec un tableau.
Au arrangement, ensuite, l'ordre des éléments est différent, c'est-à-dire {A, B} ≠ {B, A}, un exemple d'arrangement très courant serait de calculer de combien de manières différentes nous pouvons former le podium d'une compétition donnée entre 10 personnes. Notez que dans cet exemple, l'ordre est important, ce qui le rend résolvable par la formule d'arrangement. Outre la définition théorique, les formules sont différentes, et les formule d'arrangement é:
exercices résolus
question 1 – (Enem) Douze équipes se sont inscrites pour un tournoi de football amateur. Le match d'ouverture du tournoi a été choisi comme suit: dans un premier temps, 4 équipes ont été tirées au sort pour former le groupe A. Ensuite, parmi les équipes du groupe A, 2 équipes ont été tirées au sort pour jouer le match d'ouverture du tournoi, dont la première jouerait dans leur propre terrain, et la seconde serait l'équipe visiteuse. Le nombre total de choix possibles pour le groupe A et le nombre total de choix pour les équipes dans le match d'ouverture peuvent être calculés en utilisant
A) une combinaison et un arrangement, respectivement.
B) un arrangement et une combinaison, respectivement.
C) un arrangement et une permutation, respectivement.
D) deux combinaisons.
E) deux dispositions.
Résolution
Variante A
Pour différencier l'arrangement et la combinaison, il est nécessaire d'analyser si l'ordre compte ou non dans le groupement. A noter que, dans le premier groupe, l'ordre n'a pas d'importance, car le groupe A est formé des 4 équipes tirées au sort indépendamment de l'ordre, c'est-à-dire qu'il y a, dans un premier temps, une combinaison.
En analysant le deuxième groupement, il est possible de voir que l'ordre y compte, car la première équipe à tirer aura le commandement du terrain, ce qui fait de ce groupement un arrangement.
De cette façon, l'ordre est une combinaison et un arrangement.
Question 2 - Une famille composée de 7 adultes, après avoir décidé de l'itinéraire de leur voyage, a consulté le site Internet d'une compagnie aérienne et a constaté que le vol pour la date choisie était presque complet. Sur la figure, disponible sur le site internet, les sièges occupés sont marqués d'un X et les seuls sièges disponibles sont en blanc.
Le nombre de façons différentes d'héberger la famille sur ce vol est calculé par :
Résolution
Variante B. En analysant la situation, notez que l'ordre, c'est-à-dire quel membre de la famille s'assoira sur quelle chaise, n'est pas pertinent. Ce qui compte, ce sont les 7 fauteuils choisis par la famille. Nous travaillons donc avec une combinaison. Il y a 9 places libres, et 7 seront choisies. calculons donc la combinaison de 9 à 7. En substituant dans la formule, nous devons :
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm
