Somme des termes d'une progression arithmétique

Une progression arithmétique (PA) est un séquence numérique dans lequel chaque terme est la somme du précédent par une constante, appelée le rapport. Ils existent expressions mathématiques déterminer la durée d'un PA et calculer la somme de ses non premiers termes.

La formule utilisée pour calculer le somme de termes d'un PA fini ou la somme des non les premiers termes d'un PA sont les suivants :

s_non = à₁ + le_non)
2

*n est le nombre de termes BP; le₁ est le premier terme, et le_non est le dernier.

Origine de la somme des termes de l'AP

On dit que le mathématicien allemand Carl Friederich Gauss, âgé d'environ 10 ans, a été puni avec sa classe à l'école. L'enseignant a dit aux élèves d'additionner tous les nombres qui apparaissent dans le séquence de 1 à 100.

Gauss n'était pas seulement le premier à terminer en très peu de temps, il était aussi le seul à obtenir le bon résultat (5050). De plus, il n'a montré aucun calcul. Ce qu'il a fait, c'est réparer la propriété suivante :

La somme de deux termes équidistants des extrêmes d'un PA fini est égale à la somme des extrêmes.

Il n'y avait aucune connaissance sur POÊLE à l'époque, mais Gauss a consulté la liste des nombres et s'est rendu compte qu'ajouter le premier au dernier donnerait 101; en ajoutant le second à l'avant-dernier, le résultat serait également 101 et ainsi de suite. Comme la somme de toutes les paires de termes équidistant des extrêmes sont venus à 101, Gauss n'a eu qu'à multiplier ce nombre par la moitié des termes disponibles pour trouver le résultat 5050.

Notez que du nombre 1 au nombre 100, il y a exactement 100 nombres. Gauss s'est rendu compte que s'il les ajoutait deux par deux, il obtiendrait 50 résultats égaux à 101. Par conséquent, cette multiplication a été effectuée par la moitié des termes totaux.

Démonstration de la somme des termes d'un PA

Cette prouesse a donné lieu à l'expression utilisée pour calculer le somme de non premiers termes d'un PA. La tactique utilisée pour arriver à cette expression est la suivante :

donné un POÊLE any, nous en ajouterons les n premiers termes. Mathématiquement, nous aurons :

s_non = le₁ + le₂ + le₃ + … + le_{n – 2} + le_{n - 1} + le_non

Juste en dessous de ça somme de termes, nous en écrirons un autre, avec les mêmes termes que le précédent, mais dans un sens décroissant. Notez que la somme des termes du premier est égale à la somme des termes du second. Par conséquent, les deux ont été assimilés à S_non.

s_non = le₁ + le₂ + le₃ + … + le_{n – 2} + le_{n - 1} + le_non

s_non = le_non + le_{n - 1} + le_{n – 2} + … + le₃ + le₂ + le₁

Notez que ces deux expressions ont été obtenues à partir d'un seul POÊLE et que les termes équidistants sont alignés verticalement. On peut donc additionner les expressions pour obtenir :

s_non = le₁ + le₂ + le₃ + … + le_{n – 2} + le_{n - 1} + le_non

+ s_non = le_non + le_{n - 1} + le_{n – 2} + … + le₃ + le₂ + le₁

2S_non = (le₁ + le_non) + (un₂ + le_{n - 1}) + … + (un_{n - 1} + le₂) + (un_non + le₁)

Rappelez-vous que la somme des termes équidistants des extrêmes est égale à la somme des extrêmes. Par conséquent, chaque parenthèse peut être remplacée par la somme des extrêmes, comme nous le ferons ensuite :

2S_non = (le₁ + le_non) + (un₁ + le_non) +... + (le₁ + le_non) + (un₁ + le_non)

L'idée de Gauss était d'ajouter les termes équidistants d'une suite. Il a donc obtenu la moitié du nombre de termes de POÊLE dans les résultats 101. Nous avons fait en sorte que chaque terme du BP initial soit ajouté à sa valeur équidistante, en préservant son nombre de termes. Ainsi, comme le PA avait n termes, nous pouvons changer la somme, dans l'expression ci-dessus, par une multiplication et résoudre le équation trouver:

2S_non = (le₁ + le_non) + (un₁ + le_non) +... + (le₁ + le_non) + (un₁ + le_non)

2S_non = n (un₁ + le_non)

s_non = à₁ + le_non)
2

C'est exactement la formule utilisée pour ajouter le non premiers termes d'un PA.

Exemple

Étant donné P.A (1, 2, 3, 4), déterminez la somme de ses 100 premiers termes.

Solution:

Il nous faudra trouver le terme a₁₀₀. Pour cela, nous utiliserons le formule de terme général d'une AP :

le_non = le₁ + (n – 1)r

le₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

le₁₀₀ = 1 + 99

le₁₀₀ = 100

Maintenant la formule pour additionner les n premiers termes :

s_non = à₁ + le_non)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm