Toi intérêts composés sont récurrents dans Relations commerciales, dans les achats à long terme en plusieurs fois, dans les investissements, dans les prêts et même dans le simple retard de paiement des factures. L'intérêt peut être un allié ou un méchant. Il est important de maîtriser les facteurs qui influencent votre calcul que sont le capital, le taux d'intérêt, le temps et le montant.
Lorsque l'on compare l'intérêt composé avec l'intérêt simple, nous devons comprendre que le premier est toujours calculé sur la valeur de l'année précédente, la seconde est toujours calculée en plus de la valeur initiale. L'intérêt composé augmentera plus avec le temps que l'intérêt simple.
Voir aussi: Proportion - égalité entre deux raisons
Formule d'intérêt composé
Le calcul des intérêts composés est donné par cette formule :
M = C (1 + je)t |
Chacune de ces lettres est un concept important de la mathématiques financières:
Capitale (C): est le premier montant investi. On appelle capital la valeur initiale de la négociation, c'est-à-dire la valeur de référence pour le calcul des intérêts dans le temps.
Intérêt (J): est la valeur de compensation pour le revenu. Lorsqu'une institution financière accorde un prêt, elle renonce à avoir cet argent dans un certain délai, cependant, lorsqu'elle le recevra, sa valeur sera corrigée par ce qu'on appelle des intérêts, et c'est sur cette base que l'entreprise perçoit une compensation pour les prêt. Dans un investissement, il s'agit de la valeur du revenu gagné.
Taux d'intérêt (i): et le pourcentage chargé en plus du capital à chaque instant. Ce taux peut être par jour (a.d.), par mois (a.a.), bimensuel (a.b.) ou par an (a.a.). Le taux d'intérêt est un pourcentage généralement représenté en pourcentage, cependant, pour calculer l'intérêt composé, il est important de toujours l'écrire dans le forme décimale.
Temps (t): est le moment où le capital sera investi. Il est important que le taux d'intérêt (i) et le temps (t) soient toujours les mêmes unité de mesure.
Montant (M): est le montant final de la transaction. Le montant est calculé en additionnant le capital plus les intérêts — M = C + J.
Comment calculer les intérêts composés ?
À connaître manipuler la formule il est fondamental pour l'étude des intérêts composés. comme là quatre variables (montant, capital, taux d'intérêt et temps), les problèmes impliquant ce thème peuvent donner la valeur de trois d'entre eux et toujours demander le calcul de la quatrième variable, qui peut être n'importe laquelle d'entre elles. D'où le domaine de équations il est essentiel pour résoudre les problèmes impliquant des intérêts composés.
Il est à noter que, pour calculer les intérêts, il faut connaître le capital et le montant, car les intérêts sont donnés par la différence des deux, c'est-à-dire :
J = M - C |
Trouver le montant et les intérêts
Exemple
Un capital de 1400 R$ a été appliqué aux intérêts composés dans un fonds d'investissement qui rapporte 7 % par an. Quels intérêts courront après 24 mois?
Résolution
Données importantes: C = 1400; i = 7 % par an; t = 24 mois.
Notez que le temps et le taux sont dans des unités différentes, mais nous savons que 24 mois équivaut à 2 ans, donc t = 2 ans, et que le taux doit être écrit sous forme décimale, i = 0,07.
M = C (1 + je) t
M = 1400 (1 + 0,07)²
M = 1400 (1,07)²
M = 1400. 1,1449
M = 1602,86.
Pour trouver l'intérêt il faut :
J = M - C
1602,86 – 1400 = 202,86
trouver le temps
Exemple
Combien de temps faut-il pour un capital de 1500 R$ appliqué aux intérêts composés, à un taux de 10 % par an, pour générer un montant de 1996,50 R$ ?
Résolution
Puisque t est une puissance, on trouvera une équation exponentielle qui peut être résolu par factorisation ou, dans de nombreux cas, simplement par logarithme. Comme ce ne sont pas toujours des nombres entiers, il est recommandé pour ces problèmes d'utiliser une calculatrice scientifique. Dans le cas des examens d'entrée et des concours, la valeur du logarithme est donnée dans la question.
Données:
C = 1 500 M = 1996,50 i = 10 % = 0,01
Trouver le taux d'intérêt
Exemple
Quel est le taux d'intérêt appliqué par an pour un capital de R$800 pour générer des intérêts de R$352 en deux ans ?
Résolution
Données: C = 800; t = 2 ans; J = 352.
Pour trouver le taux, nous devons d'abord trouver le montant.
M = C + J
800 + 352 = 1152
Maintenant il faut :
En pourcentage, on peut aussi dire que i = 20%
A lire aussi: Quantités inversement proportionnelles - relation telle que la vitesse et le temps
Différence entre l'intérêt simple et l'intérêt composé
L'intérêt simple utilise une formule différente de celle indiquée pour l'intérêt composé :
J = C. je. t |
La différence entre le comportement de l'intérêt simple et celui de l'intérêt composé, à court terme, est assez subtile, mais, avec le temps, l'intérêt composé est beaucoup plus avantageux.
s'avère que O juros sFacile et toujours calculé sur la valeur initiale de l'opération. Par exemple, si vous appliquez 500 $ à 10 % d'intérêt simple par mois, cela signifie que chaque mois ce capital rapportera 10 % de 500 $, soit 50 $, peu importe combien de temps il y reste. L'intérêt simple est courant pour les factures en souffrance, telles que l'eau et l'énergie. Chaque jour de retard, la somme est remise avec un montant forfaitaire calculé en tête de compte.
déjà le juroscomposé, en pensant au même montant et au même taux, le premier mois, vos revenus est calculé en plus de la valeur précédente. Par exemple, le premier mois, les 10 % seront calculés en plus de 500 $, générant 50 $ d'intérêts et un montant de 550 $. Le mois prochain, les 10 % seront calculés en plus de la valeur actuelle du montant, c'est-à-dire 10 % de 550 R$, générant un intérêt de 55 R$, et ainsi de suite. Ainsi, pour les investissements, les intérêts composés sont plus avantageux. C'est assez courant exactement dans ce segment d'investissement, comme l'épargne.
Voir le tableau comparatif de la même valeur rapportant 10 % pm pendant un an à intérêt simple et les intérêts composés.
Mois |
intérêt simple |
intérêts composés |
0 |
1000 BRL |
1000 BRL |
1 |
1100 BRL |
1100 BRL |
2 |
1200 BRL |
1210 BRL |
3 |
1300 BRL |
1331 BRL |
4 |
1400 BRL |
1464,10 BRL |
5 |
1500 BRL |
1610,51 BRL |
6 |
1600 BRL |
1771,56 R$ |
7 |
1700 BRL |
BRL 1948,72 |
8 |
1800 BRL |
2143,59 R$ |
9 |
BRL 1900 |
2357,95 BRL |
10 |
BRL 2000 |
2593,74 BRL |
11 |
R$ 2100 |
2853.12 BRL |
12 |
R$ 2200 |
3138,43 BRL |
exercices résolus
Question 1 - Combien pourrai-je investir si j'investis un capital de 2000 R$ à intérêt composé, de 3% par an, pendant une période de 48 mois ?
Résolution
Données: C = 2000,00
i = 3% p.a.
t = 48 mois = 4 ans (notez que le taux est en années)
Question 2 - Pour investir 25 000 R$, Maria a cité deux options :
5% pm à intérêt simple
4% pm à intérêt composé
Combien de temps après la deuxième option est-elle plus avantageuse ?
Résolution
Pour effectuer la comparaison, le tableau de calcul des intérêts de la première et de la deuxième option suit :
Mois |
1ère possibilité |
2ème option |
0 |
25 000 BRL |
25 000 BRL |
1 |
26 250 BRL |
26 000 BRL |
2 |
27 500 BRL |
27 040 BRL |
3 |
28 750 BRL |
28 121,60 BRL |
4 |
30 000 BRL |
29 246,46 BRL |
5 |
31 250 BRL |
30 416,32 BRL |
6 |
32 500 BRL |
31 632,98 BRL |
7 |
33 750 BRL |
32 898,29 BRL |
8 |
35 000 BRL |
34 214,23 BRL |
9 |
36 250 BRL |
35 582,80 BRL |
10 |
37 500 BRL |
37 006,11 BRL |
11 |
38 750 BRL |
38 486,35 BRL |
12 |
40 000 BRL |
40 025.81 BRL |
Lorsque l'on compare les deux options, la seconde est perçue comme plus avantageuse pour des investissements sur 11 mois.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/juros-compostos.htm