Logarithme est un outil très important non seulement pour le domaine de math, car il a des applications dans plusieurs domaines scientifiques, tels que la géographie, la chimie et l'informatique.
Historiquement le logarithme se pose afin de faciliter les comptes qui sont apparus fréquemment dans plusieurs domaines scientifiques. John Napier a été le pionnier de l'étude des logarithmes et a réussi à développer l'opération capable de transformer des produits dans somme, divisions en soustractions et puissances en multiplication.
Définissant cette opération, au fil du temps, d'autres mathématiciens ont formalisé définitions et propriétés, en outre, la célèbre table de journal.
Définition du logarithme
Tracez le graphique de la fonction logarithme (à droite) et son inverse exponentiel (à gauche).
considérer deux nombres réels positif le et B, avec à ≠ 0. le logarithme de B à la base le est le nombre X si et seulement si, le élevé à X est égal au nombre B.
Nomenclature:
le → socle
b → logarithme
x → logarithme
Voir les exemples :
Lorsqu'un logarithme a une base égale à 10, il est appelé logarithme décimal. Lors de l'enregistrement d'un journal décimal, il n'est pas nécessaire d'écrire en base 10. Il est convenu que :
Lire aussi: Système de logarithme décimal
Comment calculer un logarithme ?
Pour calculer un logarithme, il faut chercher un nombre qui, lorsque nous élevons la base, donne le logarithme. En prenant comme exemple le logarithme de 36 en base 6 dans l'exemple précédent, nous devrions trouver un nombre qui, lorsque nous élevons la base 6, donne 36. comme 62 = 36, avec réponse 2. Regardons plus d'exemples :
1) Journal 1000. Pour calculer ce logarithme, il faut trouver un nombre qui, porté à 10, est égal à 1000, c'est-à-dire 10X = 1000.
En résolvant l'équation exponentielle, on a :
10X=1000
10X = 103
x = 3
Par conséquent,
1.Calculez le logarithme :
Nous devons trouver un nombre qui, à la racine de 7, est égal à un quarante-neuvième. En résolvant l'équation, on a :
Lire la suite: Équation exponentielle - équation avec inconnue en exposant
Condition d'existence du logarithme
Considérons le logarithme suivant :
L'expression n'est définie que lorsque la base est supérieure à zéro et différente de un et lorsque la base est supérieure à zéro, c'est-à-dire :
a > 0 et a 0
b > 0
Propriété des logarithmes
Voir les principaux ci-dessous. propriétés des logarithmes. Tous les logarithmes cités ici satisfont à la condition d'existence.
Propriété 1
Le logarithme du produit de deux facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs.
Propriété 2
Le logarithme du quotient entre deux nombres est égal à la différence des logarithmes de ces nombres.
Propriété 3
Le logarithme d'une puissance équivaut à multiplier l'exposant de cette puissance par le logarithme de la base de la puissance, où nous gardons la base du logarithme.
Propriété 4
Le logarithme d'une racine est égal à l'inverse de l'indice de racine multiplié par le logarithme, où l'on garde également la base.
Propriété 5
Le logarithme d'un nombre, dans une base élevée à une puissance, est égal à la multiplication de l'inverse de l'exposant de cette base.
Savoir plus: Applications de laogarithmes: voir exemples
exercices résolus
question 1 - (Fuvest - SP) Si x5 = 1000 et b3 = 100, donc le logarithme de x en base b est :
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1,5
E) 2.0
Solution
Puisque les nombres 1000 et 100 peuvent s'écrire en base 10, on a :
En substituant le logarithme de x en base b et en appliquant la définition, on a :
question 2 - (Enem) Le potentiel hydrogéné (pH) d'une solution est défini comme l'indice qui indique son acidité, sa neutralité ou son alcalinité. On le trouve comme suit :
être H+ la concentration d'ions hydrogène dans cette solution. Le pH d'une solution, où H+ = 1,0 ·10-9, é:
Solution:
Remplacement de la valeur H+ dans la formule du pH, on a :
Par L.do Robson Luiz
Professeur de mathématiques