O barycentreest l'un des points notables de Triangle, qui, à son tour, est l'un des polygones connus les plus simples. Cette figure géométrique est largement étudiée, et l'un des points qui mérite attention est la notion de barycentre.
Nous savons que le barycentre le centre de gravité du triangle. Pour le trouver, il faut déterminer ses trois médianes, ainsi que le point de rencontre entre elles. Lorsque le triangle est représenté dans le plan cartesien, pour trouver le barycentre, il suffit de calculer la moyenne arithmétique entre les valeurs de x et y pour trouver la paire ordonnée du barycentre.
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Qu'est-ce que le barycentre ?
Le triangle a des points importants, appelés points notables, et le barycentre est l'un d'entre eux, avec le circumcenter, l'incenter et l'orthocenter. Le barycentre est le centre de gravité triangulaire et est représenté par la lettre G. Il est situé à la rencontre des médianes du triangle.
La médiane d'un triangle est un segment qui commence à un sommet et va au milieu du côté opposé à ce sommet. Dans n'importe quel triangle, il est possible de tracer les trois médianes, chacune partant d'un des sommets.
Lorsque nous traçons les trois médianes simultanément, les trois se rejoignent en un seul point. Ce point, représenté par G, est le barycentre.
Propriétés du barycentre
- Propriété 1: le barycentre est toujours un point intérieur du triangle.
Comme la médiane est toujours un segment intérieur du triangle, le barycentre l'est aussi, quelle que soit sa forme.
- Propriété 2: le barycentre divise la médiane en deux parties dont le rapport est de 1:2.
En analysant le triangle représenté ci-dessus, nous avons que :
Comment le barycentre est-il calculé ?
Lorsqu'il est représenté sur le plan cartésien, il est possible de trouver les coordonnées du barycentre du triangle. Pour cela, faisons Calculez le moyenne arithmétique des valeurs x et aussi des valeurs y.
Notez que les sommets sont A(xLESouiLES), B(xBouiB) et C (xÇouiÇ), puis, pour trouver les coordonnées du barycentre G (xgouig), on utilise la formule :
Voir aussi: Trigonométrie dans n'importe quel triangle
Exercices résolus
Question 1 - On peut affirmer que le barycentre du triangle dont les sommets sont les points A(2,1), B (-3, 5) et C (4,3) est le point:
A) G (1.3).
B) G (3.1).
C) G (3.3).
D) G(-2,-1).
E) G ( -1,3).
Résolution
Alternative A. Pour trouver les coordonnées du barycentre du triangle, calculons la moyenne arithmétique entre les valeurs x aux points A, B et C et entre les valeurs y aux mêmes points.
Ainsi, le barycentre est le point G (1,3).
Question 2 - Dans une ville, trois tours téléphoniques seront installées pour résoudre le problème de réseau et de panne de signal pour les téléphones portables. Il s'avère que les positions de ces tours ont été planifiées pour que le centre de la ville coïncide avec le barycentre du triangle avec les sommets en A, B et C, qui sont les emplacements des tours. Pour choisir la position des tours, la mairie a été définie comme l'origine de l'axe, et le centre-ville était situé au point (1,-1). Ils se sont assurés que les emplacements des points A et B seraient A(12, -6), B(-4,-10). Alors, quel devrait être l'emplacement du point C?
A) (3.8)
B) (8,-13)
C) (3.8)
D) (-5, 13)
E) (-5, 8)
Résolution
Alternative D. Nous savons que G est l'emplacement du centre-ville, qui est le point de coordonnées (1,-1).
Soit (x, y) les coordonnées du point C, alors :
Trouver aussi la valeur de y :
On arrive ainsi à C (-5, 13).
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/baricentro-um-triangulo.htm