Polygones sont des images géométrie plate et fermé formé par segments droits. Les polygones sont divisés en deux groupes, les convexe et le pas convexe. Lorsqu'un polygone a tous ses côtés égaux et, par conséquent, tous les angles égal interne, c'est un polygone ordinaire. Les polygones réguliers peuvent être nommés en fonction du nombre de leurs côtés.
Voir aussi: Construction de polygones circonscrits
Éléments d'un polygone
Un polygone est une figure fermée et plate formée par l'union d'un nombre fini de segments de droite. Alors, considérons n'importe quel polygone :
Les points A, B, C, D, E, F, G et H sont les sommets du polygone et sont formés par la réunion des segments AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH et HA, appelés côtés du polygone.
Les segments AF, AE, AD et BG sont les diagonales du polygone. (Notez que ce sont quelques exemples de diagonales, dans le polygone précédent, nous en avons plus.) Les diagonales sont segments de ligne qui "connectent" les sommets du polygone.
Nomenclature d'un polygone
On peut nommer les polygones en fonction de leur nombre de côtés. Voir le nom des principaux polygones dans le tableau ci-dessous.
Nombre de côtés (n) |
Nomenclature |
3 |
Triangle |
4 |
quadrilatère |
5 |
Pentagone |
6 |
Hexagone |
7 |
Heptagone |
8 |
Octogone |
9 |
Ennéagone |
10 |
Décagone |
11 |
Undécagone |
12 |
dodécagone |
15 |
Pentadécagone |
20 |
Icosagone |
Notez qu'il n'est pas nécessaire de décorer la table, mais de la comprendre. A l'exception du triangle et du quadrilatère, le mot formation est :
Nombre de côtés + gono
Par exemple, lorsque nous avons le polygone de cinq côtés, mémoriser automatiquement le préfixe penta plus le suffixe gono: Pentagone.
Exemple
Déterminez le nom du polygone suivant :
classification des polygones
Les polygones sont classés par mesure de tes angles et côtés. Un polygone est dit équilatéral lorsqu'il a des côtés congrus, c'est-à-dire que tous les côtés sont égaux; et on l'appellera équiangle quand il a des angles congrus, c'est-à-dire tous des angles égaux.
Si un polygone est équilatéral et équiangle, alors ce sera un polygone régulier.
Dans chaque polygone régulier, le centre est à la même distance des côtés, c'est-à-dire qu'il est équidistant des côtés. Le centre du polygone est aussi le centre du cercle inscrit dans le polygone, c'est-à-dire le circonférence qui est "à l'intérieur" de la circonférence.
Lire la suite: Similitude de polygone: voyez quelles sont les conditions
Somme des angles intérieurs d'un polygone
Soit leje un angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés, nous représenterons la somme de ces angles intérieurs par Sje.
Ainsi, la somme des angles internes est donnée par :
sje = (n - 2) · 180°
Pour calculer la valeur de chaque angle intérieur, il suffit de prendre la somme des angles intérieurs et de diviser par le nombre de côtés, c'est-à-dire :
leje = sje
non
Exemple 1
Déterminer la somme des angles intérieurs puis la mesure de chaque angle intérieur d'un icosagone.
On sait qu'un icosagone a vingt côtés, donc n = 20. Remplaçant dans les relations, nous avons :
sje = (n - 2) · 180°
sje = (20 - 2) · 180°
sje = 18 · 180°
sje = 3240°
Maintenant, pour déterminer la valeur de chaque angle interne, il suffit de diviser la valeur trouvée par le nombre de côtés :
leje = 3240°
20
leje = 162°
Exemple 2
La somme des angles intérieurs d'un polygone régulier est de 720°, trouvez le polygone.
En remplaçant les informations de l'instruction dans la formule, nous avons :
720° = (n - 2) · 180°
720° = 180n - 360°
180n = 720° + 360°
180n = 1080°
n = 1080°
180°
n = 6 côtés
Ainsi, le polygone recherché est l'hexagone.
Somme des angles extérieurs d'un polygone
La somme des angles extérieurs d'un polygone est toujours égal à 360°.
set = 360°
leet = set
non
leet = 360°
non
Diagonales de polygone
Considérons un polygone à n côtés. Pour déterminer le nombre de diagonales (d), on utilise la relation suivante :
d = n · (n - 3)
2
Exemple
Détermine le nombre de diagonales d'un pentagone et représente-les graphiquement.
On sait qu'un pentagone a cinq côtés, donc n = 5. En remplaçant l'expression, il faut :
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Aire et périmètre des polygones
O périmètre de polygones est défini par le somme de tous côtés. L'aire d'un polygone est calculée en divisant le polygone en chiffres qui sont plus faciles à calculer l'aire, comme le triangle et le carré.
LESΔ = base · hauteur
2
LEScarré = base · hauteur
Exemple
Déterminez une expression mathématique qui représente l'aire d'un hexagone régulier.
Solution:
Au départ, considérons un hexagone régulier et tous les segments de ligne droite qui relient le centre du polygone à chaque sommet. Ainsi:
Notez que, du fait que l'hexagone est régulier, en le divisant, on trouve six Triangles équilatéraux, donc l'aire de l'hexagone est six fois l'aire du triangle équilatéral, c'est-à-dire :
LEShexagone = 6 · UnΔ
LEShexagone = 6 · je2 · √3
4
LEShexagone = 3 · je2 · √3
2
LEShexagone = 3 · je2·√3
2
A lire aussi :aire du triangle équilatéral
Exercices résolus
question 1 – (Enem) Une piscine a la forme d'un polygone régulier dont l'angle interne est trois fois et demie l'angle externe. Quelle est la somme des angles intérieurs du polygone dont la forme est la même que cette piscine ?
a) 1800°
b) 1620e
c) 1440°
d) 1260°
e) 1080°
Solution
Comme nous ne connaissons pas le nombre de côtés du polygone, imaginons un seul des sommets de ce polygone.
D'après l'image, nous pouvons voir que :
leje + leet = 180° (je)
De la déclaration, nous avons que:
leje = 3,5 · unet (II)
En substituant l'équation (II) à l'équation (I), nous devrons :
3.5 · unet + leet = 180°
4,5 · unet = 180°
leet = 180°
4,5
leet = 40°
Cependant, nous savons qu'un angle intérieur est la division de 360° par le nombre de côtés du polygone. Ainsi:
leet = 360°
non
40° = 360°
non
40n = 360°
n = 360°
40°
n = 9
Par conséquent, la somme des angles internes de la piscine est :
sje = (n - 2) · 180°
sje = (9 - 2) · 180°
sje = 7 · 180°
sje = 1260°
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques