Ô volume de la sphèreest calculé en fonction de la mesure de son rayon. La sphère est une forme géométrique à trois dimensions. Les principaux éléments d'une sphère sont son rayon et son diamètre. Le volume de la sphère est calculé à l'aide d'une formule spécifique qui sera présentée ci-dessous. En plus du volume, on peut calculer la surface de la sphère.
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Résumé du volume de la sphère
- Plusieurs objets de notre vie quotidienne ont une forme sphérique, comme un ballon de football.
- Les principaux éléments de la sphère sont son rayon et son diamètre.
- Pour calculer le volume de la sphère, on utilise la formule :
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Il existe d'autres formules importantes, comme la formule de l'aire d'une sphère: \(A=4\pi r^2\).
Leçon vidéo sur le volume de la sphère
Qu'est-ce qu'une sphère ?
Une sphère est une forme tridimensionnelle unique, définie comme une figure tridimensionnelle dont les points sont à égale distance de son centre. C’est l’une des formes les plus symétriques et elle est présente dans notre monde de nombreuses manières. Nous pouvons percevoir la présence de la sphère dans la nature, dans le corps humain, dans l'étude des planètes, entre autres situations de notre vie quotidienne.
Une sphère est un solide géométrique. Le billard, le football et le basket-ball sont des exemples de sphères. Il est constitué de tous les points situés à une distance constante d’un point central appelé centre de la sphère. Et cette distance constante est connue sous le nom de rayon de la sphère.
Éléments de sphère
La sphère comporte quelques parties intéressantes :
- Centre: comme son nom l'indique, c'est le point qui se trouve au centre de la sphère.
- Diamètre: segment de droite qui relie deux points opposés de la sphère, passant par le centre.
- Rayon: segment qui va du centre à n’importe quel point de la surface.
- Surface: couche externe de la sphère.
- À l'intérieur: espace à l'intérieur de la sphère.
Comment calcule-t-on le volume de la sphère ?
Le volume de la sphère est calculé par la formule:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V : est le volume de la sphère.
- UN: est le rayon de la sphère.
- π: est une constante.
Ôvaleur constante πle plus couramment utilisé est d'environ 3,14, mais on peut considérer π égal à environ 3, ou environ 3,1, voire environ 3,1415, selon le nombre de décimales que l'on veut considérer, puisque le π est un nombre irrationnel, et les nombres irrationnels ont une infinité de décimales.
- Exemple:
Une sphère a un rayon de 6 cm. Quel est le volume de cette sphère, sachant que π=3?
Résolution:
En calculant le volume de la sphère, on a :
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\cm^3\)
Le volume de cette sphère est donc de 864 cm³.
Une autre formule de sphère
En plus de la formule présentée pour calculer le volume de la sphère, il existe une autre formule importante, qui est la formule de superficie. Pour calculer la surface de la sphère, la formule est :
\(A=4\pi r^2\)
UN la surface de la sphère n'est rien d'autre que la région qui entoure la sphère. Par exemple, dans une balle en plastique, la sphère représente la balle entière et la surface est la région du plastique qui constitue le contour de cette balle.
- Exemple:
Quelle est la mesure de la surface d’une sphère qui a un rayon de 5 cm ?
Résolution:
Comme la valeur de π, nous ne le remplacerons par aucune valeur, donc :
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
L'aire de cette sphère est dans 100πcm2.
Savoir plus: Quelle est la différence entre circonférence, cercle et sphère ?
Exercices résolus sur le volume de la sphère
question 1
Un objet sphérique a un rayon de 6 cm. Alors le volume de cet objet (en utilisant π=3,14) est approximativement égal à :
A) 314,42 cm³
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm³
D) 602,38 cm³
E) 904,32 cm³
Résolution:
Alternative E
Remplacement des valeurs données dans l'instruction dans la formule \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), nous avons:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\environ288\cdot3,14=904,32{\cm}^3\)
question 2
Un conteneur a une forme sphérique. On sait qu'il a du volume dans 288π cm³. Connaissant son volume, on peut alors affirmer que la mesure du rayon de ce conteneur est :
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Résolution:
Variante D
Nous savons que \(V=288\pi\).
Remplacement des valeurs données dans l'instruction dans la formule \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), nous avons \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Annulation du π des deux côtés et multiplication croisée :
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\cm\)
Sources
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fondamentaux des mathématiques élémentaires : Géométrie spatiale, vol. 10, 6. éd. São Paulo: Actuel, 2005.
LIMA, E. et. Al. Mathématiques au lycée. 2ieme volume. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
