UN séquence numérique est un ensemble de nombres organisés de manière ordonnée. La séquence numérique peut être assemblée en utilisant différents critères — par exemple, la séquence de nombres pairs ou la séquence de multiples de 3. Lorsqu'on peut décrire ce critère par une formule, on appelle cette formule la loi de formation de la suite numérique.
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Résumé sur la séquence numérique
La séquence de nombres est une liste de nombres classés dans l’ordre.
La séquence numérique peut suivre différents critères.
La loi d'occurrence d'une séquence numérique est la liste des éléments qui existent dans la séquence.
La séquence peut être classée de deux manières. L’un prend en compte le nombre d’éléments et l’autre le comportement.
Quant au nombre d'éléments, la séquence peut être finie ou infinie.
Quant au comportement, la séquence peut être croissante, constante, décroissante ou oscillante.
Lorsque la suite numérique peut être décrite par une équation, cette équation est appelée loi de formation de la suite numérique.
Que sont les séquences ?
Les séquences sont ensembles d'éléments disposés dans un certain ordre. Dans notre quotidien, nous pouvons percevoir plusieurs situations qui impliquent des séquences :
Séquence de mois : Janvier, février, mars, avril,..., décembre.
Séquence des années des 5 premières Coupes du monde du 21ème siècle : 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Il existe plusieurs autres séquences possibles, telles que la séquence de noms ou la séquence d'âge. Chaque fois qu'il y a un ordre établi, il y a une séquence.
Chaque élément d'une séquence est appelé terme de la séquence, donc dans une séquence il y a le premier terme, le deuxième terme et ainsi de suite. En général, une séquence peut être représentée par:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(à 1\) → le premier terme.
\(a_2\) → le deuxième terme.
\(a_3\) → le troisième terme.
\(un\) → n'importe quel terme.
Loi d'apparition de la séquence numérique
Nous pouvons avoir des séquences de divers éléments, tels que des mois, des noms, des jours de la semaine, entre autres. UNune séquence est une séquence numérique lorsqu'elle implique des nombres. On peut former la suite de nombres pairs, de nombres impairs, nombres premiers, multiples de 5 etc.
La séquence est représentée à l'aide d'une loi d'occurrence. La loi d'occurrence n'est rien d'autre qu'une liste d'éléments d'une séquence numérique.
Exemples:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → séquence de nombres impairs de 1 à 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → séquence de nombres multiples de 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → séquence alternée entre 1 et -1.
Quelle est la classification de la séquence numérique ?
Nous pouvons classer les séquences de deux manières différentes. L’un d’eux prend en compte le nombre d’éléments, et l’autre prend en compte le comportement de ces éléments.
→ Classification de la séquence numérique selon le nombre d'éléments
Lorsque l'on classe la séquence selon le nombre d'éléments, il existe deux classifications possibles: la séquence finie et la séquence infinie.
◦ Séquence de nombres finis
Une séquence est finie si elle comporte un nombre limité d’éléments.
Exemples:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Séquence de nombres infinie
Une séquence est infinie si elle comporte un nombre illimité d’éléments.
Exemples:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Classification de la séquence numérique selon le comportement de la séquence
L'autre façon de classer est par comportement de séquence. Dans ce cas, la séquence peut être croissante, constante, oscillante ou décroissante.
◦ Séquence numérique croissante
La séquence est croissante si un terme est toujours supérieur à son prédécesseur.
Exemples:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Séquence de nombres constants
La suite est constante lorsque tous les termes ont la même valeur.
Exemples:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Séquence numérique décroissante
La séquence est décroissante si les termes de la séquence sont toujours plus petits que leurs prédécesseurs.
Exemples:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Séquence de nombres oscillants
La séquence est oscillante s'il y a alternativement des termes supérieurs à leurs prédécesseurs et des termes plus petits que leurs prédécesseurs.
Exemples:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Loi de formation de la séquence numérique
Dans certains cas, il est possible de décrire la séquence à l'aide d'une formule, cependant, ce n'est pas toujours possible. Par exemple, la suite de nombres premiers est une suite bien définie, cependant on ne peut pas la décrire à l’aide d’une formule. Connaissant la formule, nous avons pu construire la loi d'apparition de la suite numérique.
Exemple 1:
Séquence de nombres pairs supérieurs à zéro.
\(a_n=2n\)
Notez que lors du remplacement n pour un entier naturel (1, 2, 3, 4, ...), on trouvera un nombre pair :
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Nous avons donc une formule qui génère les termes de la suite formée par des nombres pairs supérieurs à zéro :
(2, 4, 6, 8, ...)
Exemple 2 :
Suite de nombres naturels supérieure à 4.
\(a_n=4+n\)
En calculant les termes de la suite, on a :
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Ecrire la loi d'occurrence :
(5, 6, 7, 8,…)
Voir aussi: Progression arithmétique - un cas particulier de séquence numérique
Exercices résolus sur la séquence numérique
question 1
Une suite numérique a une loi de formation égale à \(a_n=n^2+1\). En analysant cette suite, on peut affirmer que la valeur du 5ème terme de la suite sera :
A)6
B) 10
C)11
D)25
E)26
Résolution:
Alternative E
En calculant la valeur du 5ème terme de la suite, on a :
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
question 2
Analysez les séquences numériques suivantes :
JE. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
On peut affirmer que les séquences I, II et III sont classées respectivement comme :
A) croissant, oscillant et décroissant.
B) décroissant, croissant et oscillant.
C) oscillant, constant et croissant.
D) décroissant, oscillant et constant.
E) oscillant, décroissant et augmentant.
Résolution:
Alternative C
En analysant les séquences, nous pouvons affirmer que :
JE. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Il est oscillant, car il existe des termes plus grands que leurs prédécesseurs et des termes plus petits que leurs prédécesseurs.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Elle est constante, car les termes de la suite sont toujours les mêmes.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Elle est en augmentation, car les durées sont toujours plus longues que celles de leurs prédécesseurs.
