UN enracinement C'est une opération mathématique, au même titre que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et la potentialisation. De la même manière que la soustraction est l’opération inverse de l’addition et la division l’inverse de la multiplication, la radiation est l’opération inverse de la potentialisation. Ainsi, pour x et y réels positifs et entier n (supérieur ou égal à 2), si x élevé à n est égal à y, on peut dire que la nième racine de y est égale à x. En notation mathématique: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
A lire aussi :Potentialisation et radiation des fractions — comment faire ?
Résumé sur l'enracinement
La rootification est une opération mathématique.
La radiation et la potentialisation sont des opérations inverses, c'est-à-dire que pour x et y positifs, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Calculer la nième racine d'un nombre y signifie trouver le nombre x tel que x élevé à n soit égal à y.
La lecture d'une racine dépend de l'index n. Si n = 2, on l’appelle racine carrée, et si n = 3, on l’appelle racine cubique.
Dans les opérations avec des radicaux, on utilise des termes de même indice.
Le rayonnement possède des propriétés importantes qui facilitent son calcul.
Leçon vidéo sur l'enracinement
Représentation d'une racine
Pour représenter un enracinement, il faut considérer les trois éléments impliqués: radicande, indice et racine. Le symbole \(√\) est appelé un radical.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Dans cet exemple, y est la radicande, n est l'indice et x est la racine. On y lit « la nième racine de y est x ». Alors que x et y représentent des nombres réels positifs, n représente un entier égal ou supérieur à 2. Il est important de noter que pour n = 2, l'index peut être omis. Ainsi, par exemple, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
On peut représenter une radication en utilisant la radicande avec un exposant fractionnaire. Formellement, on dit que la nième racine de \(y^m\) peut être écrit comme y élevé à l'exposant fractionnaire \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Voir les exemples :
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Différences entre radication et potentialisation
Potentialisation et rayonnement sont des opérations mathématiques inverses. Cela signifie que si \(x^n=y\), alors \(\sqrt[n]{y}=x\). Cela semble difficile? Regardons quelques exemples.
Si \(3^2=9\), alors \(\sqrt[2]{9}=3\).
Si \(2^3=8\), alors \(\sqrt[3]{8}=2\).
Si \(5^4=625\), alors \(\sqrt[4]{625}=5\).
Comment lire une racine ?
Pour lire une racine, il faut considérer l'indice n. Si n = 2, nous l'appelons la racine carrée. Si n = 3, on l’appelle racine cubique. Pour les valeurs de n plus grand, on utilise la nomenclature des nombres ordinaux: racine quatrième (si n = 4), racine cinquième (si n = 5) et ainsi de suite. Voir quelques exemples :
\(\sqrt[2]{9}\) – racine carrée de 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – racine cubique de 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – quatrième racine de 625.
Comment calculer la racine d'un nombre ?
Nous verrons ci-dessous comment calculer la racine d’un nombre réel positif. Pour calculer la racine d'un nombre, nous devons considérer l’opération inverse associée. Autrement dit, si nous cherchons la nième racine d’un nombre y, nous devons chercher un nombre x tel que \(x^n=y\).
Selon la valeur de y (c'est-à-dire le radicand), ce processus peut être simple ou laborieux. Examinons quelques exemples de calcul de la racine d'un nombre.
Exemple 1:
Quelle est la racine carrée de 144 ?
Résolution:
Appelons le numéro que nous recherchons x, c'est-à-dire \(\sqrt{144}=x\). Notez que cela signifie rechercher un nombre x tel que \(x^2=144\). Testons quelques possibilités avec les nombres naturels :
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Donc, \(\sqrt{144}=12\).
Exemple 2 :
Quelle est la racine cubique de 100 ?
Résolution:
Appelons le numéro que nous recherchons x, c'est-à-dire \(\sqrt[3]{100}=x\). Cela signifie que \(x^3=100\). Testons quelques possibilités :
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Notez que nous recherchons un nombre compris entre 4 et 5, comme \(4^3=64\) C'est \(5^3=125\). Testons donc quelques possibilités avec des nombres compris entre 4 et 5 :
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Comme \(4,6^3 \) est un nombre proche et inférieur à 100, on peut dire que 4,6 est une approximation de la racine cubique de 100. Donc, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Important:Lorsque la racine est un nombre rationnel, on dit que la racine est exacte; sinon, la racine n’est pas exacte. Dans l'exemple ci-dessus, nous déterminons une plage entre les racines exactes où se trouve la racine recherchée :
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Cette stratégie est très utile pour calculer des approximations d'une racine.
Opérations avec des radicaux
Dans les opérations avec des radicaux, on utilise des termes de même indice. Compte tenu de cela, lisez attentivement les informations suivantes.
→ Addition et soustraction entre radicaux
Pour résoudre une addition ou une soustraction entre radicaux, il faut calculer la racine de chaque radical séparément.
Exemples:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Important: Il n’est pas possible d’opérer des radicaux dans les opérations d’addition et de soustraction. Notez que, par exemple, l'opération \(\sqrt4+\sqrt9\) donne lieu à un nombre différent de \(\sqrt{13}\), même si \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Multiplication et division entre radicaux
Pour résoudre une multiplication ou une division entre radicaux, on peut calculer la racine de chaque radical séparément, mais on peut aussi utiliser les propriétés de radiation, que nous verrons plus loin.
Exemples:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Quelles sont les propriétés du rayonnement ?
→ Propriété 1 de radiation
Si y est un nombre positif, alors la nième racine de \(o^n\) est égal à y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Voir l'exemple :
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Cette propriété est souvent utilisée pour simplifier les expressions comportant des radicaux.
→ Propriété 2 de radiation
La nième racine du produit \(y⋅z\) est égal au produit des nièmes racines de y et z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Voir l'exemple :
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Important: Quand on calcule la racine d’un grand nombre, c’est très utile factoriser (décomposer) le radicand en nombres premiers et appliquez les propriétés 1 et 2. Voir l'exemple suivant, dans lequel nous voulons calculer \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Comme ça,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Propriété 3d'enracinement
La nième racine du quotient \(\frac{y}z\), avec \(z≠0\), est égal au quotient des nièmes racines de y et z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Voir l'exemple :
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Propriété 4 de rayonnement
La nième racine de y élevée à un exposant m est égale à la nième racine de \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Voir l'exemple :
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Voir aussi: Quelles sont les propriétés de la potentialisation ?
Exercices résolus sur la radiation
question 1
(FGV) Simplifier \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), vous obtenez:
A)0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Résolution:
Alternative C.
Notez qu’en utilisant les propriétés de radiation, nous avons
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Ainsi, nous pouvons réécrire l’expression de l’énoncé comme
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Mettre le terme \(\sqrt3\) preuve, nous concluons que
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
question 2
(Cefet) Par quel nombre faut-il multiplier le nombre 0,75 pour que la racine carrée du produit obtenu soit égale à 45 ?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Résolution:
Variante A.
Le nombre recherché est x. Ainsi, selon le communiqué,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Donc,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
