Exercices sur les coefficients et la concavité de la parabole

O graphique d'une fonction du 2ème degré, f (x) = ax² + bx + c, est une parabole et les coefficients Le, B C'est w sont liés à des caractéristiques importantes de la parabole, telles que la concavité.

De plus, le coordonnées des sommets d'une parabole sont calculés à partir de formules faisant intervenir les coefficients et la valeur de la discriminant delta.

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À son tour, le discriminant est également une fonction des coefficients et à partir de là, nous pouvons identifier si oui ou non la fonction du 2ème degré a des racines et ce qu'elles sont, le cas échéant.

Comme vous pouvez le voir, à partir des coefficients, nous pouvons mieux comprendre la forme d'une parabole. Pour en savoir plus, consultez un liste des exercices résolus sur la concavité de la parabole et les coefficients de la fonction du 2ème degré.

Liste d'exercices sur les coefficients et la concavité de la parabole

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Question 1. Déterminer les coefficients de chacune des fonctions du 2e degré suivantes et indiquer la concavité de la parabole.

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

c) f (x) = 4x² – 5

e) f (x) = -5x²

f) f (x) = x² – 1

Question 2. A partir des coefficients des fonctions quadratiques ci-dessous, déterminer le point d'intersection des paraboles avec l'axe des ordonnées :

a) f (x) = x² – 2x + 3

b) f (x) = -2x² + 5x

c) f (x) = -x² + 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Question 3. Calculer la valeur du discriminant $\dpi{120} \bg_white \Delta$ et identifier si les paraboles coupent l'axe des abscisses.

a) y = -3x² – 2x + 5

b) y = 8x² – 2x + 2

c) y = 4x² – 4x + 1

Question 4. Déterminez la concavité et le sommet de chacune des paraboles suivantes :

a) y = x² + 2x + 1

b) y = x² – 1

c) y = -0.8x² -x + 1

Question 5. Déterminer la concavité de la parabole, le sommet, les points d'intersection avec les axes et tracer graphiquement la fonction quadratique suivante :

f(x) = 2x² – 4x + 2

Résolution de la question 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

Coefficients: a = 8, b = -4 et c = 1

Concavité: vers le haut, puisque a > 0.

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

Coefficients: a = 2, b = 3 et c = 5

Concavité: vers le haut, puisque a > 0.

c) f (x) = -4x² – 5

Coefficients: a = -4, b = 0 et c = -5

Concavité: vers le bas, car a < 0.

e) f (x) = -5x²

Coefficients: a = -5, b = 0 et c = 0

Concavité: vers le bas, car a < 0.

f) f (x) = x² – 1

Coefficients: a = 1, b = 0 et c = -1

Concavité: vers le haut, puisque a > 0.

Résolution de la question 2

a) f (x) = x² – 2x + 3

Coefficients: a= 1, b = -2 et c = 3

Le point d'interception avec l'axe y est donné par f (0). Ce point correspond exactement au coefficient c de la fonction quadratique.

Point d'interception = c = 3

b) f (x) = -2x² + 5x

Coefficients: a= -2, b = 5 et c = 0

Point d'interception = c = 0

c) f (x) = -x² + 2

Coefficients: a= -1, b = 0 et c = 2

Point d'interception = c = 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Coefficients: a= 0,5, b = 3 et c = -1

Point d'interception = c = -1

Résolution de la question 3

a) y = -3x² – 2x + 5

Coefficients: a = -3, b = -2 et c = 5

Discriminant :

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Le. c (-2)^2 - 4.(-3).5 64$

Puisque le discriminant est une valeur supérieure à 0, la parabole coupe l'axe des x en deux points différents.

b) y = 8x² – 2x + 2

Coefficients: a = 8, b = -2 et c = 2

Discriminant :

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Le. c (-2)^2 - 4.8.2 -60$

Puisque le discriminant est une valeur inférieure à 0, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

c) y = 4x² – 4x + 1

Coefficients: a = 4, b = -4 et c = 1

Discriminant :

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Le. c (-4)^2 - 4.4.1 0$

Puisque le discriminant est égal à 0, alors la parabole coupe l'axe des abscisses en un seul point.

Résolution de la question 4

a) y = x² + 2x + 1

Coefficients: a= 1, b = 2 et c= 1

Concavité: vers le haut, car a > 0

Discriminant :

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 2^2 - 4. 1. 1 4 - 4 0$

Sommet:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{-2}{2} -1$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(-1.0)

b) y = x² – 1

Coefficients: a= 1, b = 0 et c= -1

Concavité: vers le haut, car a > 0

Discriminant :

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 0^2 - 4. 1. (-1) 4$

Sommet:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4}{4} -1$

V(0,-1)

c) y = -0.8x² -x + 1

Coefficients: a= -0,8, b = -1 et c= 1

Concavité: vers le bas, car a < 0

Discriminant :

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 4,2$

Sommet:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{1}{-1.6} -0.63$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4.2}{-3.2} 1.31$

V(-0,63; 1,31)

Résolution de la question 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Coefficients: a = 2, b = -4 et c = 2

Concavité: vers le haut, car a > 0

Sommet:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a}\frac{4}{4} 1$

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-4)^2 -4. 2. 2 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(1.0)

Intercepter avec l'axe des ordonnées :

c = 2 ⇒ point (0, 2)

Intercepter avec l'axe des abscisses :

Comme $\dpi{120} \bg_white \Delta 0$ , alors la parabole coupe l'axe des x en un seul point. Ce point correspond aux racines (égales) de l'équation 2x² – 4x + 2, qui peut être déterminée par la formule de bhaskara: