Exercices du plus grand facteur commun (PGCD)

O plus grand diviseur commun (MDC), entre deux ou plusieurs nombres, est un nombre qui les divise tous et est également le plus grand nombre possible.

Nous pouvons déterminer le PGCD en trouvant tous les diviseurs de chaque nombre, puis en trouvant le plus grand diviseur commun entre eux.

Cependant, une manière pratique de calculer le MDC consiste à partir du décomposition en facteurs premiers. Dans ce cas, le PGCD est donné par le produit des facteurs communs des exposants les plus faibles.

Pour en savoir plus sur ce sujet, consultez un liste des exercices du plus grand diviseur commun (PGCD) avec résolution.

Liste d'exercices du plus grand facteur commun (PGCD)

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Question 1. Trouvez tous les diviseurs de 8 et 12 et déterminez le PGCD entre eux.

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Question 2. Trouvez tous les diviseurs de 6 et 9 et 15 et déterminez le PGCD entre eux.

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Question 3. Décomposer les nombres 18 et 21 en facteurs premiers et calculer le PGCD entre eux.

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Question 4. Décomposez les nombres 72, 81 et 126 en facteurs premiers et calculez le PGCD entre eux.

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Question 5. Quel est le plus grand nombre par lequel on peut diviser simultanément les nombres 48 et 98 ?

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Question 6. Un enseignant a 16 mètres de ruban bleu et 24 mètres de ruban rouge. Elle veut les couper en morceaux de la même taille mais aussi longs que possible.

Quelle sera la taille de chaque ruban et combien de rubans bleus et rouges recevra-t-elle ?

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Question 7. Un commerçant souhaite placer 5200 tomates et 3400 pommes de terre dans des caisses de sorte que chaque caisse ait la même quantité et soit aussi grande que possible.

Déterminez le nombre de tomates et de pommes de terre dans chaque boîte et le nombre de boîtes nécessaires.

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Question 8. Un producteur de jus entier a trois branches et veut transporter les bouteilles produit, par jour, dans chacun d'eux, dans des camions qui transportent la même quantité et qui est le plus grand possible.

Si les productions quotidiennes sont de 240, 300 et 360 bouteilles, combien de bouteilles chaque camion doit-il transporter? Combien de camions par succursale ?

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Résolution de la question 1

Diviseurs de chaque nombre :

D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Diviseurs communs: 1, 2 et 4
Plus grand commun diviseur: 4

PGCD(8,12) = 4

Résolution de la question 2

Diviseurs de chaque nombre :

D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(9) = {1, 3, 9}
D(15) = {1, 3, 5, 15}

Diviseurs communs: 1, 2, 3
Plus grand commun diviseur: 3

PGCD(6, 9, 15) = 3

Résolution de la question 3

Décomposition en facteurs premiers de 18 :

18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 18 = 2. 3. 3

Décomposition en facteurs premiers de 21 :

21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 21 = 3. 7

Donc 18 et 21 n'ont qu'un facteur en commun: 3

Donc PGCD(18, 21) = 3.

Résolution de la question 4

Décomposition en facteurs premiers de 72 :

72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 72 = 2. 2. 2. 3. 3

Décomposition en facteurs premiers de 81 :

81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 81 = 3. 3. 3. 3

Décomposition en facteurs premiers de 126 :

126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 126 = 2. 3. 3. 7

MDC(72, 81, 126) = 3. 3 = 9

Résolution de la question 5

Le plus grand nombre par lequel nous pouvons diviser simultanément 48 et 98 est le PGCD entre eux.

Décomposition en facteurs premiers de 48 :

48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 48 = 2. 2. 2. 2. 3

Décomposition en facteurs premiers de 98 :

98 | 2
49 | 7
7 | 7
1 ⇒ 98 = 2. 7. 7

PGCD(48, 98) = 2

Ainsi, le plus grand nombre par lequel nous pouvons diviser les nombres 48 et 98 est le nombre 2.

Résolution de la question 6

La longueur la plus longue possible, égale entre les rubans bleu et rouge, est le MDC entre 16 et 24.

Décomposition en facteurs premiers de 16 :

16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2

Décomposition en facteurs premiers de 24 :

24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3

PGCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8

Par conséquent, chaque morceau de ruban doit mesurer 8 mètres de long.

16: 8 = 2 ⇒ ce sera 2 rubans bleus.
24: 8 = 3 ⇒ ce sera 3 rubans rouges.

Résolution de la question 7

La plus grande quantité dans chaque boîte, la même pour les tomates et les pommes de terre, est le MDC entre 5200 et 3400.

Décomposition en facteurs premiers de 5200 :

5200 | 2
2600 | 2
1300 | 2
650 | 2
325 | 5
65 | 5
13 | 13
1 ⇒ 5200 = 2. 2. 2. 2. 5. 5. 13

Décomposition en facteurs premiers de 3400 :

3400 | 2
1700 | 2
850 | 2
425 | 5
85 | 5
17 |17
1 ⇒ 5200 = 2. 2. 2. 5. 5. 17

MDC(5200, 3400) = 2. 2. 2. 5. 5 = 200

Par conséquent, chaque boîte doit contenir 200 tomates ou pommes de terre.

5200: 200 = 26 ⇒ ça fait 26 boîtes de tomates.
3400: 200 = 17 ⇒ ça fait 17 caisses de pommes de terre.

En tout, il vous faudra 26 + 17 = 43 cases.

Résolution de la question 8

Le plus grand nombre de bouteilles transportées dans chaque camion, identique pour les trois branches, est le MDC entre 240, 300 et 360.

Décomposition en facteurs premiers de 240 :

240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 240 = 2. 2. 2. 2. 3. 5

Décomposition en facteurs premiers de 300 :

300 | 2
150 | 2
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1 ⇒ 300 = 2. 2. 3. 5. 5

Décomposition en facteurs premiers de 360 ​​:

360 | 2
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 360 = 2. 2. 2. 3. 3. 5

MDC(240, 300, 360) = 2. 2. 3. 5 = 60

Par conséquent, chaque camion doit transporter 60 bouteilles de jus.

240: 60 = 4 ⇒ il y aura 4 camions pour la branche qui produit 240 bouteilles.
300: 60 = 5 ⇒ il y aura 5 camions pour la branche qui produit 300 bouteilles.
360: 60 = 6 ⇒ il y aura 6 camions pour la branche qui produit 360 bouteilles.

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