Calculez le factoriel d'un nombre n'a de sens que lorsque nous travaillons avec des nombres naturels. Cette opération est assez courante dans analyse combinatoire, facilitant le calcul des arrangements, permutations, combinaisons et autres problèmes de comptage. La factorielle est représenté par le symbole "!". Nous le définissons comme n! (n factoriel) à multiplication de n par tous ses prédécesseurs jusqu'à ce que vous atteigniez 1. non! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
A lire aussi: Principe fondamental du comptage - concept principal de l'analyse combinatoire
Qu'est-ce que la factorielle ?
La factorielle est une opération très importante pour l'étude et le développement de l'analyse combinatoire. En mathématiques, le nombre suivi du symbole d'exclamation (!) est dite factorielle, par exemple x! (x factoriel).
On sait comme factoriel d'un entier naturel le en multipliant ce nombre par ses prédécesseurs sauf zéro, c'est à dire:
non! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
Il est à noter que, pour que cette opération ait du sens,
calcul factoriel
Pour trouver la factorielle d'un nombre, il suffit de calculer le produit. Notez également que la factorielle est une opération qui, lorsque augmenter la valeur de n, le résultat augmentera également beaucoup.
Exemples:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Par définition, on a :
0! = 1
1! = 1
Opérations factorielles
Pour résoudre des opérations factorielles, il est important de faire attention à ne pas faire d'erreurs. Lorsque nous allons additionner, soustraire ou multiplier deux factorielles, il est nécessaire de calculer chacune d'elles séparément. Seule la division dispose de moyens spécifiques pour effectuer des simplifications. Ne faites pas l'erreur d'effectuer l'opération et de garder la factorielle, soit pour l'addition et la soustraction, soit pour la multiplication.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Lors de la résolution de l'une de ces opérations, nous devons calculer chacune des factorielles.
Exemples:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Voir aussi: Comment résoudre une équation avec factorielle ?
Simplification factorielle
Les divisions sont assez récurrentes. Dans les formules de combinaison, arrangement et permutation avec répétition, on aura toujours recours à la simplification pour résoudre les problèmes faisant intervenir la factorielle. Pour cela, suivons quelques étapes.
Exemple:
1ère étape : identifiez la plus grande des factorielles — dans ce cas, c'est 8! Maintenant, en analysant le dénominateur, qui est 5!, écrivons la multiplication de 8 par ses prédécesseurs jusqu'à ce que nous arrivions à 5 !.
La factorielle d'un nombre n, c'est-à-dire n!, peut être réécrite comme la multiplication de n en k!. Ainsi,
non! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, réécrivons donc 8! comme la multiplication de 8 à 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Réécrivons donc la raison sous la forme :
2ème étape: après avoir réécrit le raison, il est possible de simplifier le numérateur avec le dénominateur, puisque 5! il est à la fois au numérateur et au dénominateur. Après simplification, il suffit d'effectuer la multiplication.
Exemple 2:
Analyse combinatoire et factorielle
Lors de l'exécution du plus loin en analyse combinatoire, la factorielle d'un nombre apparaîtra toujours. Les principaux groupements en analyse combinatoire, qui sont la permutation, la combinaison et l'arrangement, utilisent la factorielle d'un nombre dans leurs formules.
Permutation
LES permutation et le réorganiser tous les éléments d'un ensemble. Pour calculer une permutation, on a recours à la factorielle, car la permutation de n éléments est calculée par :
Pnon = n!
Exemple:
Combien de anagrammes pouvons-nous construire avec le nom HEITOR ?
C'est un problème de permutation typique. Comme il y a 6 lettres dans le nom, pour calculer le nombre d'anagrammes possibles, il suffit de calculer P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Accédez également à: Permutation avec éléments répétés: comment la résoudre ?
Dispositions
Calculer dispositions il faut aussi maîtriser la factorielle d'un nombre. L'arrangement, comme la permutation, est la formation d'un réordonnancement. La différence est, dans l'arrangement, nous réorganisons une partie de l'ensemble, c'est-à-dire que nous voulons savoir combien de réorganisations possibles nous pouvons former en choisissant une quantité k de un ensemble avec n éléments.
Exemple:
Dans une entreprise, il y a 6 candidats pour diriger l'établissement, et deux seront sélectionnés pour les postes de directeur et directeur adjoint. Sachant qu'ils seront élus par vote, quel est le nombre de résultats possibles ?
Dans ce cas, nous calculerons la disposition de 6 prise de 2 par 2, car il y a 6 candidats pour deux postes vacants.
Combinaison
Dans la combinaison, comme dans les autres, il faut maîtriser la factorielle d'un nombre. Nous définissons comme combinaison toi sous-ensembles d'un ensemble. La différence est que, dans la combinaison, il n'y a pas de réorganisation, car l'ordre n'est pas important. Nous calculons donc combien de sous-ensembles avec k éléments nous pouvons former dans un ensemble de n éléments.
Exemple:
Un comité de 3 étudiants sera choisi pour représenter la classe. Sachant qu'il y a 5 candidats, combien de commissions peuvent être formées ?
A lire aussi: Arrangement ou combinaison?
exercices résolus
Question 1 - À propos de la factorielle d'un nombre, jugez les affirmations suivantes.
JE). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Seul I est vrai.
B) Seul II est vrai.
C) Seul III est vrai.
D) Seuls I et II sont vrais.
E) Seuls II et II sont vrais.
Résolution
Alternative A.
I) Vrai.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Faux.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Faux.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Question 2 - (UFF) Le produit 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 est-il équivalent à ?
A) 20:2
B) 2·10 !
C) 20:210
D) 210· 10!
E) 20! : 10 !
Résolution
Alternative D.
En regardant le produit de tous les nombres pairs de 2 à 20, nous savons que :
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
On peut donc réécrire comme 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
