LES fonction d'injection, également appelée fonction injective, est un cas particulier de fonction. Pour qu'une fonction soit considérée comme injectante, nous devons avoir l'occurrence suivante: étant donné deux éléments, x1 et x2, appartenant à l'ensemble de domaine, avec x1 différent de x2, images f(x1) et f(x2) sont toujours distincts, c'est-à-dire f(x1) f(x2). Cette fonction a des caractéristiques spécifiques qui permettent l'identification de son graphe ainsi que l'analyse de la loi de formation.
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Qu'est-ce qu'une fonction d'injection ?
Pour construire quelques exemples de fonction d'injecteur, il est important de comprendre la définition de ce type de fonction. Une fonction F: A → B est classé comme injecteur si, et seulement si, les éléments différents de l'ensemble A ont des images différentes dans l'ensemble B, c'est à dire:
Exemple 1:
Vous trouverez ci-dessous un exemple de fonction d'injecteur dans réve diagrammenonnon:
Exemple 2:
Vous trouverez ci-dessous un exemple de fonction sans injection. Notez que dans le ensemble A, il y a deux éléments distincts qui ont la même image dans l'ensemble B, ce qui contredit la définition de la fonction d'injecteur.
Comment calculer une fonction d'injecteur?
Pour vérifier si une fonction injecte ou non, il est nécessaire d'analyser le comportement de la loi de formation ainsi que le domaine et le contre-domaine dans lesquels la fonction est définie.
Exemple:
étant donné la fonction F: R → R, avec la loi de formation F(x) = 2x, vérifiez s'il s'agit d'un injecteur.
Par la loi de formation, on voit qu'il faut une nombre réel du domaine et en fait son double. Deux nombres réels distincts, multipliés par deux, donnent des résultats distincts. LES OccupationF, comme on peut le voir, c'est une fonction d'injecteur, puisque pour deux valeurs quelconques de x1 et x2,la valeur de F(X1) ≠ F(X2).
Exemple 2:
étant donné la fonction F: R → R, avec loi de formation F(x) = x², vérifier s'il s'agit d'un injecteur.
On peut observer que, pour ce domaine, cette fonction n'est pas injectante, car on a que l'image d'un nombre quelconque est égale à l'image de son contraire, par exemple :
F( 2) = 2² = 4
F( --2 ) = (– 2) ² = 4
noter que F(2) = F ( – 2), ce qui contredit la définition d'une fonction d'injecteur.
Exemple 3:
étant donné la fonction F:R+ → R, avec loi de formation F(x) = x², vérifier s'il s'agit d'un injecteur.
Notez que maintenant le domaine est les nombres réels positifs et zéro. La fonction transforme le nombre réel en son carré; dans ce cas, lorsque le domaine est l'ensemble des nombres réels positifs, cette fonction est injective, car le carré de deux nombres positifs distincts générera toujours des résultats différents. Il est donc très important de se rappeler qu'en plus de la loi de formation de la fonction, nous devons analyser son domaine et son contre-domaine.
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Tableau des fonctions d'injection
Pour identifier si le graphique est une fonction d'injecteur ou non, il suffit de vérifier s'il y a deux valeurs x distinctes qui génèrent le même correspondant y, c'est-à-dire vérifier la validité de la définition de la fonction injecteur.
Dans la plage où nous allons regarder le graphique, la fonction doit être exclusivement croissante ou exclusivement décroissante. Des graphismes comme le parabole ou la fonction sinus ne sont pas des graphiques de fonctions d'injecteur.
Exemple 1:
La ligne montante est le graphique d'une fonction d'injection. Notez qu'il est toujours croissant et qu'il n'y a pas de valeur y qui a deux correspondants distincts.
Exemple 2 :
Le graphique d'un fonction exponentielle c'est aussi le graphe d'une fonction d'injecteur.
Exemple 3 :
Le graphique d'un fonction quadratique c'est toujours une parabole. Lorsque le domaine implique les nombres réels, il est possible de voir qu'il existe différentes valeurs x qui ont le même correspondant en y, qu'aux points F et G, ce qui rend ce graphe d'une fonction qui n'est pas injecteur.
En résumé, pour savoir si le graphique est ou non d'une fonction d'injecteur, il suffit de vérifier si la définition d'une fonction d'injecteur est valide ou non pour cette fonction.
exercices résolus
Question 1 - (Enem 2017 – PPL) En première année de lycée dans une école, il est de coutume que les élèves dansent des danses carrées lors de la fête de juin. Cette année, il y a 12 filles et 13 garçons dans la classe, et 12 paires différentes ont été formées pour le gang, composé d'une fille et d'un garçon. Supposons que les filles soient les éléments qui composent l'ensemble A et les garçons, l'ensemble B, de sorte que les paires formées représentent une fonction f de A vers B.
Sur la base de ces informations, la classification du type de fonction présente dans cette relation est
A) f est en train d'injecter, car pour chaque fille appartenant à l'ensemble A, un garçon différent appartenant à l'ensemble B est associé.
B) f est surjective, puisque chaque paire est formée d'une fille appartenant à l'ensemble A et d'un garçon appartenant à l'ensemble B, laissant un garçon non apparié.
C) f consiste à injecter, comme n'importe quelle paire de filles appartenant à l'ensemble A avec le même garçon appartenant à l'ensemble B, pour impliquer tous les élèves de la classe.
D) f est bijective, puisque deux garçons quelconques appartenant à l'ensemble B forment une paire avec la même fille appartenant à l'ensemble A.
E) f est surjectif, car il suffit qu'une fille de l'ensemble A forme une paire avec deux garçons de l'ensemble B, pour qu'aucun garçon ne soit sans paire.
Résolution
Alternative A.
Cette fonction est injective car, pour chaque élément de l'ensemble A, il y a un seul correspondant dans l'ensemble B. Notez qu'il n'y a aucune possibilité que deux filles dansent avec la même paire, donc cette relation est injectante.
Question 2 - (IME - RJ) Considérons les ensembles A = {(1,2), (1,3), (2,3)} et B = {1, 2, 3, 4, 5}, et soit la fonction f: A → B tel que f(x, y) = x + y.
On peut dire que f est une fonction :
A) injecteur.
B) subjectif.
C) bijecteur.
D) par.
E) étrange.
Résolution
Alternative A.
En analysant le domaine, nous devons :
f (1,2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f(2,3) = 2 + 3 = 5
Notez que pour deux termes distincts dans le domaine, ils sont liés à des termes distincts dans le contre-domaine, ce qui fait de cette fonction un injecteur.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm