Distance entre deux points dans l'espace

LES distance entre deux points est l'un des concepts les plus importants de Géométrie analytique. C'est à travers ce concept que la plupart des définitions et propriétés des figures géométriques sont construites.

LES distance entre deux points c'est le plus petit segment droit qui les relie. Ainsi, le travail de trouver une distance se résume à mesurer la longueur d'un segment de ligne droite.

Habituellement, en géométrie analytique, les mesures de segments droits sont faites par le théorème de Pythagore. De cette façon, ce même théorème est utilisé pour arriver à une formule de calcul de la distance entre deux points.

Démonstration de formule

Notez, dans la figure ci-dessous, les points A = (x_LESoui_LES, z_LES) et B = (x_Boui_B, z_B). La première étape consiste à construire le plus petit segment de ligne droite qui les relie. Pour ce faire, connectez-les simplement avec une ligne droite.

Une fois cela fait, observez sur la figure ci-dessous le même segment vu de dessus :

Notez que la vue de dessus réduit la première partie du problème à

distance entre deux points du plan. Nous utiliserons le théorème de Pythagore pour trouver le carré de la longueur du segment A'B', projection de AB sur le plan xy. N'oubliez pas, cependant, que les colliers à considérer ont des tailles x_B - X_LES Andy_B - oui_LES.

Une fois cela fait, nous utiliserons le théorème de Pythagore à nouveau pour calculer la longueur de AB. Notez que AB est l'hypoténuse d'un triangle rectangle où A'B' est la jambe et la base (ce segment est parallèle à projection de segments AB et a la même taille) et z_B – z_LES est l'autre jambe et la hauteur.

Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :

Ceci termine la démonstration, une fois la longueur du segment AB trouvée.

Formule de la distance entre deux points dans l'espace

A partir des calculs ci-dessus, le distance entre deux points dans l'espace, noté d_{UN B}, est défini comme suit :

Pour utiliser cette formule, substituez simplement les valeurs numériques des coordonnées des points A et B et effectuez les calculs. Regardez l'exemple:

Calculez la distance entre les points A = (0,2.2) et B = (-2, 0, 1) :

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos-no-espaco.htm