Toi nombres complexes découlent de la nécessité de résoudre équations qui ont racine de nombre négatif, qui, jusque-là, n'était pas possible à résoudre en travaillant avec des nombres réels. Les nombres complexes peuvent être représentés de trois manières: a forme algébrique (z = a + bi), composé d'une partie réelle le et une partie imaginaire B; le Forme géométrique, représenté dans le plan complexe également connu sous le nom de plan d'Argand-Gauss; et le vôtre forme trigonométrique, également connue sous le nom de forme polaire. Sur la base de leur représentation, comme nous travaillons avec un ensemble numérique, les nombres complexes ont des opérations bien définies: addition, soustraction, multiplication, division et potentialisation.
A travers la représentation géométrique dans le plan complexe, on définit également le module (représenté par |z|) d'un nombre complexe — qui est la distance du point représentant le nombre complexe à l'origine — et quel est l'argument d'un nombre complexe - qui est l'angle formé entre l'axe horizontal et la piste qui relie l'origine au point représentant le nombre complexe.
besoin de nombres complexes
En mathématiques, l'expansion d'un ensemble numérique vers un nouvel ensemble, tout au long de l'histoire, était quelque chose d'assez commun. Il s'avère qu'au cours de celle-ci, les mathématiques se sont développées, puis, pour répondre aux besoins de l'époque, on a remarqué qu'il y avait des nombres qui n'appartenaient pas à l'ensemble numérique auquel il se référait. C'est ainsi qu'il en fut avec l'émergence de ensembles numériques entiers, rationnels, irrationnels et réels, et ce n'était pas différent lorsqu'il était nécessaire d'étendre l'ensemble des nombres réels à celui des nombres complexes.
Quand on essaie de résoudre équations du second degré, il est assez fréquent que l'on trouve le racine carrée d'un nombre négatif, qui est impossible à résoudre dans l'ensemble des nombres réels, d'où la nécessité de nombres complexes. Le début de l'étude de ces nombres a reçu des contributions d'importants mathématiciens, tels que Giralmo Cardono, mais leur ensemble a été formalisé par Gauss et Argand.
A lire aussi: Représentation géométrique de la somme de nombres complexes
forme algébrique d'un nombre complexe
Lorsqu'on essayait de résoudre une équation quadratique telle que x² = –25, on disait souvent qu'elle était insoluble. Cependant, dans une tentative d'algébrisation, le représentation algébrique, qui permet d'effectuer des opérations avec ces nombres, même si vous ne pouvez pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
Pour faciliter la résolution des situations dans lesquelles vous travaillez avec le racine carrée d'un nombre négatif, le unité imaginaire.
Donc, en analysant l'équation présentée x² = -25, on a que :
Ainsi, les solutions de l'équation sont -5je e5je.
Pour définir la forme algébrique, le lettre je, connu comme unité imaginaire d'un nombre complexe. Un nombre complexe est représenté par :
z = le + Bje
Sur quoi le et B sont des nombres réels.
Le: partie réelle, indiquée par a = Re (z) ;
B: partie imaginaire, indiquée par Im (z) ;
je: unité imaginaire.
Exemples
Le) 2 + 3je
B) -1 + 4je
ç) 5 – 0,2je
ré) -1 – 3je
quand le la partie réelle est nulle, le nombre est connu sous le nom imaginaire pur, par exemple, -5je et 5je ce sont de purs imaginaires parce qu'ils n'ont pas de partie réelle.
Lorsque la partie imaginaire est nulle, le nombre complexe est également un nombre réel.
Opérations avec des nombres complexes
Comme tout ensemble numérique, les opérations doivent être bien défini, par conséquent, il est possible d'effectuer les quatre opérations de base des nombres complexes en tenant compte de la forme algébrique présentée.
Addition de deux nombres complexes
Pour effectuer le une addition de deux nombres complexes z1 ez2, nous allons ajouter la partie réelle de z1 ez2 et la somme de la partie imaginaire, respectivement.
Être:
z1 = a + bje
z2 = c + dje
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)je
Exemple 1
Réalisation de la somme de z1 et z2.
z1 = 2 + 3je
z2 = 1 + 2je
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)je
z1 +z2= 3 + 5je
Exemple 2
Réalisation de la somme de z1 et z2.
z1 = 5 – 2je
z2 = – 3 + 2je
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)je
z1+z2 = (5 – 3) + 0je
z1 +z2= 3 + 0je = 3
Voir aussi: Représentation géométrique de la somme de nombres complexes
Soustraction de deux nombres complexes
Avant de parler de soustraction, nous devons définir quelle est la inverse d'un nombre complexe, c'est-à-dire z = a + bje. L'inverse de z, représenté par –z, est le nombre complexe –z = –a –bje.
Pour effectuer la soustraction entre z1et -z2, ainsi qu'en plus, nous ferons le soustraction entre les parties réelles et entre les parties imaginaires séparément, mais il faut comprendre que -z2 c'est l'inverse d'un nombre complexe, ce qui oblige à jouer le jeu des signes.
Exemple 1
Effectuer la soustraction de z1 et z2.
z1 = 2 + 3je
z2 = 1 + 2je
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)je
z1–z2= 1 + 1je = 1+ je
Exemple 2
Effectuer la soustraction de z1 et z2.
z1= 5 – 2je
z2 = – 3 + 2je
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)je
z1–z2= (5 + 3) + (–4)je
z1 –z2= 8 + (–4)je
z1 –z2= 8 –4je
Pouvoirs unitaires imaginaires
Avant de parler de multiplication, nous devons comprendre la puissance de l'unité imaginaire. Dans la recherche d'une méthode pour calculer les puissances de jenon, il faut se rendre compte que ces puissances se comportent de manière cyclique. Pour cela, calculons quelques puissances dans je.
Il s'avère que les prochains pouvoirs ne sont rien de plus que sa répétition, notez que :
je 4 = je 2 · je 2 = (–1) (–1) = 1
je 5 = je 2 · je 3 = (–1) (–je) = je
Alors que nous continuons à calculer les puissances, les réponses seront toujours des éléments de l'ensemble {1,i,–1,–je}, puis pour trouver une puissance de l'unité jenon, nous diviserons n (l'exposant) par 4, et le du reposde cette division (r = { 0, 1, 2, 3}) sera le nouvel exposant de je.
Exemple1
Calcul de i25
Lorsque nous divisons 25 par 4, le quotient sera 6 et le reste sera égal à 1. Nous devons donc :
je 25 = je1 = je
Exemple 2
Calculs de je 403
Lorsque nous divisons 403 par 4, le quotient sera de 100, car 100 · 4 = 400, et le reste sera de 3, nous devons donc :
je 403 =je 3 = -je
Multiplication de nombres complexes
Pour effectuer la multiplication de deux nombres complexes, appliquons le propriété distributive. Être:
z1= a + bje
z2= c + dje, puis le produit :
z1 · z2 = (a + bje) (c + dje), en appliquant la propriété distributive,
z1 · z2 = ac + annonceje + cbje + chje 2, mais comme nous l'avons vu, je ² = -1
z1 · z2 = ac + annonceje + cbje - bd
z1 · z2= (ca – bd) + (annonce + cb)je
En utilisant cette formule, il est possible de trouver le produit de deux nombres complexes, mais dans un En général, il n'a pas besoin d'être décoré, puisque, pour le calcul en question, on applique simplement la propriété distributif.
Exemple
Calcul du produit de (2+3je) (1 – 4je):
(2+3je) (1 – 4je) = 2 – 8je + 3je– 12je ², en se souvenant que i² = -1:
(2 + 3je) (1 – 4je) = 2 – 8je + 3je+ 12
(2 + 3je) (1 – 4je) = (2 + 12) + (– 8 + 3)je
(2+3je) (1 – 4je) = 14 – 5je
Accédez également à: Addition, soustraction et multiplication de nombres complexes
nombre complexe conjugué
Avant de parler de division, nous devons comprendre ce qu'est le conjugué d'un nombre complexe. Le concept est simple, pour trouver le conjugué d'un nombre complexe, il suffit échangermois le signe de la partie imaginaire.
division de deux nombres complexes
Pour effectuer le division de deux nombres complexes, nous devons multiplier la fraction par le conjugué du dénominateur pour que la partie réelle et la partie imaginaire soient bien définies.
Exemple
Calcul de la division de (6 - 4je): (4 + 2je)
Voir aussi: Opposé, conjugué et égalité des nombres complexes
Plan complexe ou plan Argand-Gauss
Connu sous le nom de plan complexe ou Un planrgand-gauss, il permet la représentation sous forme géométrique d'un nombre complexe, ce plan est une adaptation dans le plan cartesien pour représenter des nombres complexes. L'axe horizontal est appelé axe réel de la pièce Re(z), et l'axe vertical est appelé axe de la partie imaginaire Im (z). Donc le nombre complexe représenté par a + bje génère les points dans le plan complexe formé par la paire ordonnée (a, b).
Exemple
Représentation du nombre 3 + 2je sous la forme géométrique Z(3,2).
Module et argument d'un nombre complexe
Le module d'un nombre complexe, géométriquement, est le distance du point (a, b) qui représente ce nombre dans le plan complexe à l'origine, c'est-à-dire le point (0,0).
Comme on peut le voir, |z| est l'hypoténuse de triangle rectangle, par conséquent, il peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore, il faut donc :
Exemple:
Calcul du module de z = 1 + 3je
O leargument d'un nombre complexe, géométriquement, est le angle formé par l'axe horizontal et le |z|
Pour trouver la valeur de l'angle, il faut :
Le but est de trouver l'angle θ = arg z.
Exemple:
Trouvez l'argument du nombre complexe: z = 2 + 2je:
Puisque a et b sont positifs, nous savons que cet angle est dans le premier quadrant, calculons donc |z|.
Connaissant le |z|, il est possible de calculer le sinus et le cosinus.
Puisque, dans ce cas, a et b sont égaux à 2, alors, lorsque nous calculons sinθ, nous trouverons la même solution pour le cosinus.
Connaître les valeurs de sinθ et cosθ, en consultant le tableau des angles notables et sachant que θ appartient au premier quadrant, donc θ peut être trouvé en degrés ou en radians, donc nous concluons quelle:
Forme trigonométrique ou polaire
La représentation du nombre complexe dans le forme trigonométrique ce n'est possible qu'après avoir compris le concept de module et d'argument. Sur la base de cette représentation, des concepts importants sont développés pour l'étude des nombres complexes à un niveau plus avancé. Pour réaliser la représentation trigonométrique, on retiendra sa forme algébrique z = a + bi, cependant, lors de l'analyse du plan complexe, il faut :
En substituant, sous forme algébrique, les valeurs de a = |z| cos et b = |z| sen, nous devons :
z = a + bje
Avec z = |z| cos + |z| senθ je, mettre |z| en évidence, on arrive à la formule de la forme trigonométrique :
z= |z|(cos + je · péché θ) |
Exemple: Écrivez, sous forme trigonométrique, le nombre
Pour écrire sous forme trigonométrique, nous avons besoin de l'argument et du module de z.
1ère étape – Calcul de |z|
Connaissant les |z|, il est possible de trouver la valeur de en consultant le tableau des angles notables.
Il est maintenant possible d'écrire le nombre z sous sa forme trigonométrique avec l'angle en degrés ou avec l'angle mesuré en radians.
A lire aussi: Rayonnement des nombres complexes sous forme trigonométrique
Exercices résolus
Question 1 - (UFRGS) Etant donné les nombres complexes z1 = (2,–1) et z2 = (3, x), on sait que le produit entre z1 et z2 est un nombre réel. Donc x est égal à :
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Résolution
Alternative D.
Pour que le produit soit un nombre réel, alors la partie imaginaire est égale à zéro.
En écrivant ces nombres sous forme algébrique, il faut :
z1 = 2 – 1je et z2 = 3 + xje
z1 · z2 = (2 – 1je) (3 + xje)
z1 · z2 = 6 + 2xje –3je - Xje ²
z1 · z2 = 6 + 2xje –3je + X
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)je
Puisque notre intérêt est que la partie imaginaire soit égale à zéro, alors nous allons résoudre pour 2x – 3 = 0
Question 2 - (UECE) Si i est le nombre complexe dont le carré est égal à -1, alors la valeur de 5je 227 + je 6 – je 13 c'est la même chose que :
Le) je + 1
b) 4je –1
c) -6je –1
d) -6je
Résolution
Variante C.
Pour résoudre cette expression, il faut trouver le reste de chacun des nombres en division par 4.
227: 4 donne un quotient de 56 et un reste de 3.
je 227 = je 3 = –je
6: 4 donne le quotient 1 et le reste 2.
je 6 = je 2 = –1
13: 4 donne le quotient 3 et le reste 1.
je 13 = je1 = je
Nous devons donc :
5je 227 + je 6 – je 13
5 (–je) + (–1) – je
–5je –1 – je
–6je – 1
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
