LES l'équation modulaire est une équation que, dans le premier ou le deuxième membre, a des termes dans le module. Le module, également appelé valeur absolue, est lié à la distance entre un nombre et zéro. Puisque nous parlons de distance, le module d'un nombre est toujours positif. Résoudre des problèmes d'équation modulaire nécessite d'appliquer la définition du module, nous divisons généralement l'équation en deux cas possibles :
quand ce qui est à l'intérieur du module est positif et
quand ce qui est à l'intérieur du module est négatif.
A lire aussi: Quelle est la différence entre une fonction et une équation ?
un module de nombres réels
Afin de pouvoir résoudre des problèmes d'équations modulaires, il est nécessaire de se souvenir de la définition modulo. Le module est toujours le même que distance d'un nombre à zéro, et pour représenter le module d'un nombre non, nous utilisons la barre droite comme suit: |non|. Pour calculer le |non|, nous avons divisé en deux cas :
Par conséquent, nous pouvons dire que |
non| est le même que le propre non lorsqu'il s'agit d'un nombre positif ou égal à zéro, et, dans le second cas, |non| est égal à l'opposé de non s'il est négatif. Rappelez-vous que l'opposé d'un nombre négatif est toujours positif, donc le |non| a toujours un résultat égal à un nombre positif.Exemples:
a) |2| = 2
b) |-1| = -(-1) = 1
Voir aussi: Comment résoudre une équation logarithmique ?
Comment résoudre une équation modulaire ?
Pour trouver la solution d'une équation modulaire, il faut analyser chacune des possibilités, c'est-à-dire diviser, toujours en deux cas, chacun des modules. En plus de connaître la définition du module, pour résoudre des équations modulaires, il est essentiel de savoir résoudre équations polynomiales.
Exemple 1:
|x – 3| = 5
Pour trouver la solution à cette équation, il est important de se rappeler qu'il y a deux résultats possibles qui font |non| = 5, c'est eux, non = -5, puisque |-5| = 5, et aussi non = 5, car |5| = 5. Donc, en utilisant cette même idée, nous devons :
I → x – 3 = 5 ou
II → x – 3 = -5
Résoudre l'une des équations séparément :
Résolution I:
x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Résolution II :
x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Il y a donc deux solutions: S = {-2, 8}.
Notez que si x = 8, l'équation est vraie car :
|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Notez également que si x = -2, l'équation est également vraie :
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Exemple 2:
|2x + 3| = 5
Comme dans l'exemple 1, pour trouver la solution, il faut la diviser en deux cas, selon la définition du module.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Résolution I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Résolution II :
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Puis le ensemble des solutions est: S = {1, -4}.
Exemple 3 :
|x + 3| = |2x – 1|
Quand on a l'égalité de deux modules, il faut la diviser en deux cas :
1er cas, premier et deuxième membres du même signe.
2ème cas, premier et deuxième membres de signes opposés.
Résolution I:
Nous allons rendre les deux côtés supérieurs à zéro, c'est-à-dire que nous supprimerons simplement le module. On peut aussi faire avec les deux négatifs, mais le résultat sera le même.
X + 3 0 → |x + 3| = x + 3
2x – 1 0 → |2x – 1| = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x – 2x = -1 – 3
x = -4 (-1)
x = 4
Résolution II:
Côtés de signes opposés. Nous choisirons un côté positif et l'autre négatif.
Choisir :
|x + 3| 0 → |x + 3| = x + 3
|2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)
Donc, nous devons :
x + 3 = – (2x – 1)
x + 3 = – 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Ainsi, l'ensemble des solutions est: S = {4, -2/3}.
Accédez également à: Que sont les équations irrationnelles ?
Exercices résolus
Question 1 - (UFJF) Le nombre de solutions négatives de l'équation modulaire |5x – 6| = x² est :
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Résolution
Variante E
On veut résoudre l'équation modulaire :
|5x – 6| = x²
Alors, divisons-le en deux cas :
Résolution I:
5x – 6 > 0 → |5x – 6| = 5x - 6
Donc, nous devons :
5x - 6 = x²
-x² + 5x – 6 = 0
N'oubliez pas que la valeur delta nous indique le nombre de solutions de l'équation quadratique :
a = -1
b = 5
c = -6
= b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Puisque 1 est positif, alors dans ce cas il y a deux solutions réelles.
Résolution II:
|5x – 6| < 0 → |5x – 6| = – (5x – 6)
– (5x – 6) = x²
– 5x + 6 = x²
– x² – 5x + 6 = 0
= b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Puisque Δ est positif dans ce cas aussi, alors il y a deux solutions réelles, donc le total des solutions réelles est 4.
Question 2 - (PUC SP) L'ensemble solution S de l'équation |2x – 1| = x - 1 est :
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Résolution
Variante A
Résolution I :
|2x – 1| = 2x - 1
Donc, nous devons :
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Résolution II :
|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
