Parmi les moyens de trouver la valeur numérique de x, un processus également connu sous le nom trouver les racines d'une équation ou alors trouver la solution d'une équation, ressortir: Formule Bhaskara C'est le processus de complétion des carrés. Ce dernier est au centre du texte d'aujourd'hui.
Le nombre de solutions d'une équation est donné par son degré. Par conséquent, les équations du premier degré n'ont qu'une seule solution, les équations du troisième degré ont trois solutions et les équations quadratiques ont deux solutions, également appelées racines..
Les équations du second degré, sous leur forme réduite, peuvent s'écrire comme suit :
hache2 + bx + c = 0
méthode de complétion carrée
Dans ce cas l'équation quadratique est un trinôme carré parfait
Les équations du second degré résultant d'un produit remarquable sont appelées trinôme carré parfait. Pour trouver ses racines, nous utiliserons la méthode illustrée ci-dessous :
Exemple: Calculer les racines de l'équation x2 + 6x + 9 = 0.
Notez que le coefficient b est 6 = 2,3. Pour l'écrire sous la forme d'un produit remarquable, il suffit de vérifier si c = 3
2, ce qui est vrai, puisque 32 = 9 = env. De cette façon, nous pouvons écrire :X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Notez qu'un produit notable est le produit entre deux polynômes égaux. Dans le cas de cette équation, on aura :
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
Un produit n'est égal à zéro que lorsque l'un de ses facteurs est égal à zéro. Donc, pour (x + 3)(x + 3) = 0, il faut que (x + 3) = 0 ou (x + 3) = 0. D'où les deux résultats égaux pour l'équation x2 + 6x + 9 = 0, qui sont: x = – 3 ou x = – 3.
En bref: pour résoudre l'équation x2 + 6x + 9 = 0, écrivez :
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 ou x = – 3
Dans ce cas l'équation quadratique n'est pas un trinôme carré parfait
Une équation de la seconde dans laquelle le coefficient b et le coefficient c ne rencontrent pas les relations établies ci-dessus n'est pas un trinôme carré parfait. Dans ce cas, la méthode de résolution mise en évidence ci-dessus peut être utilisée avec l'ajout de quelques étapes. Notez l'exemple suivant :
Exemple: Calculer les racines de l'équation x2 + 6x – 7 = 0.
Notez que cette équation n'est pas un trinôme carré parfait. Pour ce faire, nous pouvons utiliser les opérations suivantes :
Notez que b = 2,3, donc dans le premier membre l'expression qui devrait apparaître est x2 + 6x + 9, car dans cette expression b = 2,3 et c = 32.
Pour cette "transformation", ajoutez 32 sur les deux membres de cette équation, "passer" le - 7 au deuxième membre, effectuer les opérations possibles et observer les résultats :
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4
Cette dernière étape doit être divisée en deux équations, car la racine de 16 peut être 4 ou – 4 (cela ne se produit que dans les équations. Si on lui demande quelle est la racine de 16, la réponse est juste 4). Il faut donc trouver tous les résultats possibles. Suite :
x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4
x = 4 – 3 ou x = – 4 – 3
x = 1 ou x = – 7
Auquel cas le coefficient "a" n'est pas égal à 1
Les cas précédents sont destinés aux équations quadratiques où le coefficient "a" est égal à 1. Si le coefficient "a" est différent de 1, il suffit de diviser toute l'équation par la valeur de "a" et de procéder aux calculs de la même manière que dans le cas précédent.
Exemple: Calculer 2x racines2 + 16x – 18 = 0
Notez que a = 2. Divisez donc toute l'équation par 2 et simplifiez les résultats :
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x – 9 = 0
Une fois cela fait, répétez les procédures du cas précédent.
X2 + 8x – 9 = 0
X2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 ou x + 4 = –5
x = 5 – 4 ou x = – 5 – 4
x = 1 ou x = – 9
Produits notables et équations du second degré: origine de la méthode de complétion carrée
Les équations quadratiques ressemblent beaucoup aux produits remarquables somme carré et carré de la différence.
La somme au carré, par exemple, est une somme de deux monômes au carré. Regarder:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Le premier membre de l'égalité ci-dessus est connu comme produit remarquable et la seconde comment trinôme carré parfait. Cette dernière s'apparente beaucoup à une équation du second degré. Regarder:
Trinôme carré parfait: X2 + 2kx + k2
Équation du second degré: hache2 + bx + c = 0
De cette façon, s'il existe un moyen d'écrire une équation quadratique comme un produit remarquable, il y a peut-être aussi un moyen de trouver vos résultats sans avoir besoin d'utiliser la formule de Bhaskara.
Pour ce faire, notez que, dans le produit notable ci-dessus, a = 1, b = 2·k et c = k2. De cette façon, il est possible d'écrire des équations qui remplissent ces exigences sous la forme d'un produit remarquable.
Regardez donc les coefficients dans l'équation. Si « a » est différent de 1, divisez l'équation entière par la valeur de « a ». Sinon, respectez le coefficient « b ». La valeur numérique de la moitié de ce coefficient doit être égale à la valeur numérique de la racine carrée du coefficient « c ». Mathématiquement, étant donné l'équation ax2 + bx + c = 0, si a = 1 et en plus :
B = c
2
Donc, vous pouvez écrire cette équation comme ceci :
hache2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Et ses racines seront -B et + b.
2 2
D'où toute la théorie utilisée pour calculer les racines des équations quadratiques par la méthode des carrés complets.
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm