O tronc d'un cône est le solide formé par bas du cône lors de l'exécution d'une section à n'importe quelle hauteur parallèle à la base. quand on coupe le cône à une hauteur donnée, il se divise en deux solides géométriques, un cône plus petit que le précédent et le tronc d'un cône.
Le tronc du cône a des formules spécifiques pour qu'il soit possible de calculer l'aire totale et le volume de ce solide géométrique.
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Éléments de cône de tronc
Le tronc d'un cône est un cas particulier de corps ronds. Il tire son nom du fait que, dans un cône, lorsque l'on fait une section parallèle à la base, il se divise en deux parties. La partie inférieure est le tronc du cône.
Étant donné le tronc d'un cône, il y a des éléments importants dans ce solide, qui reçoivent des noms spécifiques.
R → rayon de la plus grande base
h → hauteur du cône
r → rayon de la plus petite base
g → génératrice de cône de tronc
On voit que le tronc du cône est composé de deux visages en forme de cercle, appelées bases. De plus, l'un d'eux a toujours un rayon plus petit que l'autre. Ainsi, r < R et, par conséquent, il y a une base plus grande et une base plus petite.
Générateur de cône de tronc
Étant donné un tronc conique, il est possible calculer la valeur génératrice de ce solide à l'aide de la théorème de Pythagoras, quand on connaît les rayons de la base la plus grande et la plus petite, en plus de la hauteur.
g² = h² + (R – r) ²
Exemple:
Trouvez la génératrice d'un cône de tronc qui a une hauteur de 8 cm, un rayon de la base supérieur égal à 10 cm et le rayon de la base inférieur à 4 cm.
Pour trouver le tronc de la génératrice du cône, il faut :
h = 8
R = 10
r = 4
Substitution dans la formule :
g² = h² + (R – r) ²
g² = 8² + (10 – 4)²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = 100
g = 10 cm
Voir aussi: Comment trouver le centre d'un cercle ?
Volume du cône de coffre
Pour calculer le volume du tronc du cône, on utilise la formule :
Connaissant les valeurs de hauteur, le rayon de la plus grande base et le rayon de la plus petite base, il est possible de calculer le volume du tronc d'un cône.
Exemple:
Trouvez le volume d'un cône de tronc qui a une hauteur égale à 6 cm, un rayon de la plus grande base égal à 8 cm et un rayon de la plus petite base égal à 4 cm. Utilisez = 3.1.
Planification du tronc d'un cône
LES raboter un solide géométrique et le représentation de vos visages en deux dimensions. Voir ci-dessous le rabotage du tronc du cône.
Surface totale du tronc du cône
Connaissant le plan d'un tronc de cône, il est possible de calculer la valeur de l'aire totale de ce solide géométrique. On sait qu'il est composé de deux bases en forme de cercle et aussi par son aire latérale. L'aire totale du tronc d'un cône est la somme des aires de ces trois régions :
LEST = UnB + UnB + Unlà
LEST → superficie totale
LESB → plus grande surface de base
LESB → surface de base plus petite
LESL → zone latérale
Notez que les bases sont des cercles et que la zone latérale commence à partir d'un cercle, donc :
LESlà = g (R + r)
LESB = R²
LESB = r²
Exemple:
Calculez la surface totale du tronc du cône qui a une hauteur égale à 12 cm, un rayon de base supérieur égal à 10 cm et un rayon de base inférieur à 5 cm. Utilisez = 3.
Nous allons d'abord trouver la génératrice pour calculer l'aire latérale :
g² = 12² + (10 – 5)²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = 169
g = 13
LESlà = g (R + r)
LESlà = 3 · 13 (10 + 5)
LESlà = 39 · 15
LESlà = 39 · 15
LESlà = 585 cm²
Nous allons maintenant calculer l'aire de chacune des bases :
LESB = R²
LESB = 3 · 10²
LESB = 3 · 100
LESB = 300cm²
LESB = r²
LESB= 3 · 5²
LESB= 3 · 25
LESB= 75cm²
LEST = UnB + UnB + Unlà
LEST = 300+ 75 + 585 = 960 cm²
Voir aussi: Quelles sont les différences entre cercle et circonférence ?
exercices résolus
Question 1 - (Enem 2013) Un cuisinier, expert en pâtisserie, utilise un moule au format indiqué sur la figure :
Il identifie la représentation de deux figures géométriques tridimensionnelles. Ces chiffres sont :
A) un tronc de cône et un cylindre.
B) un cône et un cylindre.
C) un tronc pyramidal et un cylindre.
D) deux troncs coniques.
E) deux cylindres.
Résolution
Alternative D. En analysant les solides géométriques, les deux ont deux faces circulaires de tailles différentes, ce sont donc des troncs de cône.
Question 2 - (Nucepe) Comment c'est et à quoi sert principalement une tasse, nous le savons tous: servir des boissons, en particulier des boissons chaudes. Mais d'où est venue l'idée de créer un "verre avec anse" ?
Le thé, d'origine orientale, était initialement servi dans des pots ronds sans anses. Selon la tradition, il s'agissait même d'un avertissement pour ceux qui dirigeaient la cérémonie de la boisson: si le récipient vous brûlait le bout des doigts, il faisait trop chaud pour boire. A température idéale, cela ne dérangeait pas, même en contact direct avec la porcelaine.
La source: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Consulté le 01/06/2018.
Une tasse à thé a la forme d'un tronc de cône droit, comme le montre la figure ci-dessous. Quel est le volume maximum approximatif de liquide qu'il peut contenir ?
A) 168 cm³
B) 172 cm³
C) 166 cm³
D) 176 cm³
E) 164 cm³
Résolution
Alternative D.
Pour trouver le volume, calculons d'abord la valeur de chacun des rayons. Pour ce faire, il suffit de diviser le diamètre par deux.
R = 8/ 2 = 4
r = 4/2 = 2
En plus du rayon, on sait que h = 6.
Donc, nous devons :
La valeur la plus proche est de 176 cm³.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-cone.htm