O volume de la sphère est l'espace occupé par ce solide géométrique. A travers le rayon de balle — c'est-à-dire à partir de la distance entre le centre et la surface — il est possible de calculer son volume.
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Résumé sur le volume de la sphère
La sphère est un corps rond obtenu en faisant tourner un demi-cercle autour d'un axe contenant le diamètre.
Tous les points d'une sphère sont à une distance égale ou inférieure à r du centre de la sphère.
Le volume de la sphère dépend de la mesure du rayon.
La formule du volume de la sphère est \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Leçon vidéo sur le volume de la sphère
Qu'est-ce que la sphère ?
Considérons un point O dans l'espace et un segment de mesure r. la sphère est la solide formé par tous les points situés à une distance égale ou inférieure à r de O. On appelle O le centre de la sphère et r le rayon de la sphère.
la sphère peut aussi être caractérisé comme un solide de révolution. Notez que la rotation d'un demi-cercle autour d'un axe contenant son diamètre forme une sphère :
Formule de volume de sphère
Pour calculer le volume V d'une sphère, on utilise la formule ci-dessous, où r est le rayon de la sphère :
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Il est important d'observer la unité de mesure rayon pour déterminer l'unité de mesure du volume. Par exemple, si r est donné en cm, alors le volume doit être donné en cm³.
Comment calculer le volume de la sphère ?
Le calcul du volume de la sphère ne dépend que de la mesure du rayon. Prenons un exemple.
Exemple: En utilisant l'approximation π = 3, trouver le volume d'un ballon de basket de 24 centimètres de diamètre.
Puisque le diamètre est le double du rayon, r = 12 cm. En appliquant la formule du volume de la sphère, on a
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\cm^3\)
régions de sphère
Considérons une sphère de centre O et de rayon r. Comme ça, on peut considérer trois régions de cette sphère :
La région intérieure est formée par les points dont la distance au centre est inférieure au rayon. Si P appartient à la région intérieure de la sphère, alors
\(D(P, O)
La région de surface est formée par les points dont la distance au centre est égale au rayon. Si P appartient à la région de surface de la sphère, alors
\(D(P, O)=r\)
La région extérieure est formée par les points dont la distance au centre est supérieure au rayon. Si P appartient à la région intérieure de la sphère, alors
\(D(P, O)>r\)
Par conséquent, les points de la région extérieure de la sphère n'appartiennent pas à la sphère.
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Autres formules de sphère
UN zone de sphère — c'est-à-dire la mesure de sa surface — a aussi une formule connue. Si r est le rayon de la sphère, son aire A est calculée par
\(A=4·π·r^2\)
Dans ce cas, il est également important de noter l'unité de mesure du rayon pour indiquer l'unité de mesure de la surface. Par exemple, si r est en cm, alors A doit être en cm².
Exercices résolus sur le volume de la sphère
question 1
Quel est le rayon d'une sphère ayant un volume de 108 centimètres cubes? (Utilisez π = 3).
a) 2 centimètres
b) 3 centimètres
c) 4cm
d) 5cm
e) 6cm
Résolution
Variante B.
Considérez que r est le rayon de la sphère. Sachant que V = 108, on peut utiliser la formule du volume de la sphère :
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\cm\)
question 2
Un ancien réservoir sphérique mesure 20 mètres de diamètre et a un volume V1. On souhaite construire un deuxième réservoir, de volume V2, avec deux fois le volume de l'ancien réservoir. Alors, V2 c'est la même chose que
Le) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
C'est) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Résolution
E alternative.
Comme le diamètre est le double du rayon, l'ancien réservoir a un rayon r = 10 mètres. Donc
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Par la déclaration, \(V_2=2·V_1\), c'est à dire
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm
