matrice symétrique est quartier général dans lequel chaque élément \(a_{ij}\) est égal à l'élément \(a_{ji}\) pour toutes les valeurs de i et j. Par conséquent, toute matrice symétrique est égale à sa transposée. Il convient également de mentionner que chaque matrice symétrique est carrée et que la diagonale principale agit comme un axe de symétrie.
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Résumé sur la matrice symétrique
Dans une matrice symétrique, \(a_{ij}=a_{ji}\) pour tout i et j.
Toute matrice symétrique est carrée.
Chaque matrice symétrique est égale à sa transposée.
Les éléments d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale.
Alors que dans la matrice symétrique \(a_{ij}=a_{ji}\) pour tout i et j; dans une matrice antisymétrique, \(a_{ij}=-a_{ji}\) pour tout i et j.
Qu'est-ce qu'une matrice symétrique ?
Une matrice symétrique est une matrice carrée où \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) pour tout i et tout j. Cela signifie que \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)
, et ainsi de suite, pour toutes les valeurs possibles de i et j. Rappelons que les valeurs possibles de i correspondent aux lignes de la matrice et les valeurs possibles de j correspondent aux colonnes de la matrice.Exemples de matrices symétriques
\(\begin{bmatrice} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrice}\), \(\begin{bmatrice} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrice}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Exemples de matrices non symétriques (considérez \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrice} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrice}\), \(\begin{bmatrice} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrice}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Important: Dire qu'une matrice n'est pas symétrique revient à montrer que \(a_{ij}≠a_{ji}\) pour au moins certains i et j (ce que nous pouvons voir en comparant les exemples précédents). Ceci est différent du concept de matrice antisymétrique, que nous verrons plus tard.
Quelles sont les propriétés de la matrice symétrique ?
Toute matrice symétrique est carrée
A noter que la définition d'une matrice symétrique est basée sur des matrices carrées. Ainsi, chaque matrice symétrique a le même nombre de lignes que le nombre de colonnes.
Toute matrice symétrique est égale à sa transposée
Si A est une matrice, son transposé (\(A^T\)) est définie comme la matrice dont les lignes sont les colonnes de A et dont les colonnes sont les lignes de A. Donc, si A est une matrice symétrique, on a \(A=A^T\).
Dans la matrice symétrique, les éléments sont "réfléchis" par rapport à la diagonale principale
Comme \(a_{ij}=a_{ji}\) dans une matrice symétrique, les éléments au-dessus de la diagonale principale sont des "réflexions" des éléments en dessous de la diagonale (ou vice versa) par rapport à la diagonale, de sorte que la diagonale principale agit comme un axe de symétrie.
Quelles sont les différences entre la matrice symétrique et la matrice antisymétrique ?
Si A est une matrice symétrique, alors \(a_{ij}=a_{ji}\) pour tout i et tout j, comme nous l'avons étudié. Dans le cas de la matrice antisymétrique, la situation est différente. Si B est une matrice antisymétrique, alors \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) pour tout i et tout j.
A noter que cela se traduit par \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), c'est, les principaux éléments diagonaux sont nuls. Une conséquence de ceci est que la transposée d'une matrice antisymétrique est égale à son opposé, c'est-à-dire que si B est une matrice antisymétrique, alors \(B^T=-B\).
Exemples de matrices antisymétriques
\(\begin{bmatrice} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrice}\), \(\begin{bmatrice} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrice}\), \(\begin{bmatrice} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrice}\)
Voir aussi: Matrice d'identité - la matrice dans laquelle les principaux éléments diagonaux sont égaux à 1 et les éléments restants sont égaux à 0
Exercices résolus sur matrice symétrique
question 1
(Unicentro)
si la matrice \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) est symétrique, donc la valeur de xy est :
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Résolution:
Variante A
Si la matrice donnée est symétrique, alors les éléments en positions symétriques sont égaux (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Par conséquent, nous devons :
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Remplacement du premier équation dans la seconde, nous concluons que \(y=3\), bientôt:
\(x=2\) C'est \(xy=6\)
question 2
(UFSM) Sachant que la matrice \(\begin{bmatrice} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrice}\) est égal à sa transposée, la valeur de \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Résolution:
Variante C
Puisque la matrice donnée est égale à sa transposée, alors c'est une matrice symétrique. Ainsi, les éléments en positions symétriques sont égaux (\(a_{ij}=a_{ji}\)), c'est à dire:
\(x^2=36\)
\(4-a=-7\)
\(-30=5x\)
Par la première équation, x=-6 ou x=6. Par la troisième équation, nous obtenons la bonne réponse: x= -6. Par la deuxième équation, y=11.
Bientôt:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
