bissecteur et le ligne perpendiculaire à un segment qui coupe son milieu. Nous pouvons construire la bissectrice perpendiculaire d'un segment à l'aide d'une règle et d'un compas. Sur un Triangle, les bissectrices sont des lignes perpendiculaires aux côtés qui contiennent leurs milieux. Ainsi, un triangle a trois bissectrices perpendiculaires. Le point où ces bissectrices se rencontrent s'appelle le centre circonscrit et constitue le centre du cercle circonscrit au triangle.
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Résumé sur la bissectrice perpendiculaire
La bissectrice est la droit perpendiculaire à un segment passant par le milieu.
Les points d'une bissectrice perpendiculaire sont équidistants des extrémités du segment.
La bissectrice perpendiculaire peut être construite avec une règle et un compas.
L'équation d'une bissectrice perpendiculaire peut être déterminée sur la base des coordonnées des extrémités du segment.
Un triangle a trois bissectrices perpendiculaires, une par rapport à chaque côté.
Le point d'intersection des bissectrices d'un triangle est appelé centre circonscrit. Ce point est le centre du cercle circonscrit du triangle.
La bissectrice d'un triangle diffère de la médiane, de la bissectrice et de la hauteur d'un triangle.
C'est quoi médiatrice ?
Étant donné un segment, la bissectrice perpendiculaire est la droite perpendiculaire à la segment qui intercepte votre milieu.
Une conséquence importante de cette définition est que tous les points d'une bissectrice perpendiculaire sont à la même distance des extrémités du segment. En symbologie mathématique, si AB est un segment et que le point P appartient à la bissectrice, alors PA = PB.
Comment construire la bissectrice ?
Pour construire la bissectrice perpendiculaire d'un segment, nous n'avons besoin que d'une règle et d'un compas. Les étapes de construction sont les suivantes :
Étape 1: Étant donné un segment AB, ouvrez la boussole avec une longueur supérieure à la moitié du segment. Astuce: une possibilité est d'utiliser la longueur du segment lui-même.
Étape 2: en tirer un circonférence avec le centre à une extrémité du segment et le rayon avec la mesure choisie à l'étape 1.
Étape 3: Répétez l'étape 2 pour l'autre extrémité du segment.
Étape 4: Joignez les points d'intersection des cercles avec la règle.
Comment trouver l'équation bissectrice ?
Puisque la médiatrice est une droite, on peut déterminer une équation qui décrit vos points, étant r la ligne qui contient un segment UN B donné, s la bissectrice de ce segment et P (x, y) n'importe quel point de la bissectrice perpendiculaire.
En supposant que les coordonnées des points UN C'est B sont connus, on peut obtenir le coefficient angulaire n de la ligne droite r. Comme r C'est s sont perpendiculaires, la pente m de la ligne droite s (la bissectrice perpendiculaire) peut également être trouvé, car c'est l'opposé de l'inverse multiplicatif de n. En utilisant l'expression de l'équation fondamentale de la ligne, \(a-a_0=m (x-x_0 )\), sur quoi \(M(x\_0,y\_0)\) est le milieu de UN B, nous avons terminé l'équation bissectrice.
Exemple:
Déterminer l'équation bissectrice du segment déterminé par les points A(1,2) et B(3,6).
Résolution:
Prenons d'abord la pente n de la ligne droite r qui contient le segment UN B:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Cherchons maintenant le milieu M du segment UN B:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Rappelez-vous que la bissectrice perpendiculaire s recherché est perpendiculaire à la ligne r (qui contient le segment UN B). Ensuite, le coefficient angulaire m de la ligne droite s et le coefficient angulaire n de la ligne droite r sont liés comme suit :
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Donc, \( m_s=\frac{-1}2\).
Enfin, nous utilisons l'équation fondamentale de la ligne pour déterminer la bissectrice s, une ligne qui a une pente égale à \(-\frac{1}2\) et passe par le point (2,4) :
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2x+5\)
bissectrice d'un triangle
Les trois côtés d'un triangle sont des segments de droite. Ainsi, le terme « bissectrice d'un triangle » fait référence à la bissectrice d'un des côtés de cette figure géométrique. Donc, le trianglea trois bissectrices. Voir ci-dessous:
Le point où les bissectrices d'un triangle se rencontrent s'appelle le centre circonscrit., puisque c'est le centre du cercle circonscrit au triangle (c'est-à-dire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle).
Important:Comme le centre circonscrit est un point commun aux trois bissectrices perpendiculaires, sa distance à chacun des sommets est la même. En symbologie mathématique, si D est le centre circonscrit du triangle abc, alors \(AD=BD=CD\).
Différences entre la bissectrice, la médiane, la bissectrice et la hauteur d'un triangle
La bissectrice, la médiane, la bissectrice et la hauteur d'un triangle sont des concepts différents. Regardons chacun individuellement puis ensemble.
Bissectrice d'un triangle : est la droite perpendiculaire à l'un des côtés qui coupe son milieu.
Médiane d'un triangle : est le segment dont les extrémités sont à un sommet du triangle et au milieu du côté opposé au sommet.
Bissectrice d'un triangle : est le segment qui divise en deux l'un des angles côtés du triangle, avec des extrémités à l'un des sommets et sur le côté opposé.
Hauteur d'un triangle : est le segment perpendiculaire à l'un des côtés avec une extrémité à l'angle opposé au côté.
Dans l'image suivante, on met en évidence, par rapport au segment BC du triangle, la hauteur (trait pointillé en orange), la bissectrice (ligne pointillée en violet), la médiane (ligne pointillée en vert) et la bissectrice perpendiculaire (ligne continue en rouge).
Important: Sur un triangle équilatéral, c'est-à-dire qui a les trois côtés et les trois angles égaux, les bissectrices, les médianes, les bissectrices et les hauteurs coïncident. En conséquence, le points remarquables d'un triangle (circumcenter, barycenter, incenter et orthocenter) coïncident également. Dans l'image ci-dessous, nous mettons en évidence, par rapport au segment BC, la bissectrice, la médiane, la bissectrice et la hauteur en trait noir continu. Le point E mis en évidence est donc le centre circonscrit, le barycentre, l'incentre et l'orthocentre du triangle ABC.
Voir aussi: Relations métriques dans le triangle équilatéral inscrit — quelles sont-elles ?
Exercices résolus sur la bissectrice
question 1
Considérez les déclarations ci-dessous.
je. La bissectrice d'un triangle est le segment qui part d'un sommet et traverse le milieu du côté opposé.
II. Le point où les bissectrices d'un triangle se rencontrent s'appelle le centre circonscrit. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle et équidistant des sommets.
III. La bissectrice d'un segment est la droite perpendiculaire qui coupe le segment en son milieu.
Quelle alternative contient le(s) bon(s) ?
A) Moi, seulement.
B) II, seulement.
C) III, seulement.
D) I et II.
E) II et III.
Résolution:
Variante E
La déclaration I est la seule incorrecte, car elle décrit la médiane d'un triangle.
question 2
(Enem — adapté) Ces dernières années, la télévision a connu une véritable révolution en termes de qualité d'image, de son et d'interactivité avec le spectateur. Cette transformation est due à la conversion du signal analogique en signal numérique. Cependant, de nombreuses villes ne disposent toujours pas de cette nouvelle technologie. Cherchant à apporter ces avantages à trois villes, une station de télévision a l'intention de construire une nouvelle tour de transmission qui envoie un signal aux antennes A, B et C, déjà existantes dans ces villes. Les emplacements des antennes sont représentés dans le plan cartésien :
La tour doit être située à égale distance des trois antennes. L'endroit approprié pour la construction de cette tour correspond au point de coordonnées
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Résolution:
Variante E
Notez que l'emplacement de la tour doit être le centre circonscrit du triangle formé par les points A, B et C, car il s'agit de l'emplacement équidistant des trois antennes.
Les coordonnées de la tour T sont\( (x_t, y_t )\). Puisque T appartient à la bissectrice de AB (donnée par la droite x = 50), la position horizontale de la tour doit être \(x_t=50\).
Pour déterminer la coordonnée horizontale \(yt\) de la tour, on peut utiliser deux fois l'expression de la distance entre deux points. Comme la tour est équidistante, par exemple, des sommets A et C (AT = CT), on a :
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
En simplifiant, on obtient \(y_t=30\).
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths