Exercices sinus, cosinus et tangente

Étudiez avec les exercices résolus du sinus, du cosinus et de la tangente. Entraînez-vous et clarifiez vos doutes grâce aux exercices commentés.

question 1

Déterminez les valeurs de x et y dans le triangle suivant. Considérons sin 37º = 0,60, cosinus de 37º = 0,79 et tan 37º = 0,75.

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Réponse: y = 10,2 m et x = 13,43 m

Pour déterminer y, nous utilisons le sinus de 37º, qui est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Il convient de rappeler que l'hypoténuse est le segment opposé à l'angle de 90º, il vaut donc 17 m.

s et n espace 37º est égal à y sur 17 17 espace. s espace et n espace 37º est égal à y 17 espace. espace 0 virgule 60 espace égal à y espace 10 virgule 2 m espace égal à y espace

Pour déterminer x, nous pouvons utiliser le cosinus de 37º, qui est le rapport entre le côté adjacent à l'angle de 37º et l'hypoténuse.

cos espace 37º est égal à x sur 17 17 espace. espace cos espace 37º est égal à x 17 espace. espace 0 virgule 79 espace égal à espace x 13 virgule 4 m espace approximativement égal à espace x

question 2

Dans le triangle rectangle suivant, déterminez la valeur de l'angle mésange droite , en degrés, et ses sinus, cosinus et tangente.

Envisager:

péché 28º = 0,47
cos 28º = 0,88

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Réponse: thêta est égal au signe 62 degrés , cos espace signe de 62 degrés approximativement égal 0 virgule 47 virgule espace s et n signe de 62 degrés approximativement égal 0 virgule 88 espace et espace un espace tan espace signe de 62 degrés espace approximativement égal 1 point 872.

Dans un triangle la somme des angles intérieurs est égale à 180°. Étant un triangle rectangle, il y a un angle de 90º, donc il reste encore 90º pour les deux angles.

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De cette manière nous avons :

28 ème espace plus l'espace thêta l'espace est égal à l'espace 90 º l'espace thêta est égal à l'espace 90 º l'espace moins l'espace 28 º l'espace thêta est égal à l'espace 62 º

Comme ces angles sont complémentaires (de l'un d'eux, l'autre est ce qu'il reste pour compléter 90º), il est valide que :

cos 62º = sin 28º = 0,47

sin 62º = cos 28º = 0,88

Calcul de la tangente

La tangente est le rapport du sinus au cosinus.

$tan espace 62º espace égal espace numérateur s et n espace 62º au-dessus du dénominateur cos espace 62º fin de la fraction est égale au numérateur 0 virgule 88 sur le dénominateur 0 virgule 47 fin de la fraction approximativement égale à 1 virgule 872$

question 3

A un certain moment d'une journée ensoleillée, l'ombre d'une maison est projetée sur 23 mètres. Ce reste fait 45º par rapport au sol. De cette façon, déterminez la hauteur de la maison.

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Réponse: La hauteur de la maison est de 23 m.

Pour déterminer une hauteur, connaissant l'angle d'inclinaison, on utilise la tangente de l'angle à 45°.

La tangente à 45° est égale à 1.

La maison et l'ombre au sol sont les jambes d'un triangle rectangle.

$tan espace 45 º égal numérateur c a t e à espace o post o sur dénominateur c a t e à espace a d j a c e n t e fin de fraction égal numérateur a l t u r a espace d a espace c a s a sur le dénominateur m e d i d a espace d a espace s om br r fin de fraction tan espace 45 º est égal à a sur 23 1 est égal à a sur 23 a espace est égal à espace 23 espace m$

Ainsi, la hauteur de la maison est de 23 m.

question 4

Un géomètre est un professionnel qui utilise des connaissances mathématiques et géométriques pour prendre des mesures et étudier une surface. À l'aide d'un théodolite, un outil qui, entre autres fonctions, mesure des angles, positionné à 37 mètres loin d'un bâtiment, il a trouvé un angle de 60° entre un plan parallèle au sol et la hauteur du imeuble. Si le théodolite était sur un trépied à 180 cm du sol, déterminez la hauteur du bâtiment en mètres.

envisager racine carrée de 3 égale 1 point 73

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Réponse: La hauteur du bâtiment est de 65,81 m.

Faire un croquis de la situation que nous avons:

Ainsi, la hauteur du bâtiment peut être déterminée en utilisant la tangente de 60º, à partir de la hauteur où se trouve le théodolite, en ajoutant le résultat à 180 cm ou 1,8 m, car c'est la hauteur à partir du sol.

La tangente à 60° est égale à racine carrée de 3 .

Hauteur depuis le théodolite

$tan espace 60 º l'espace est égal à l'espace hauteur du numérateur espace d l'espace p r est d i o sur le dénominateur 37 fin de la racine carrée de la fraction de 3 espace est égal au numérateur espace a l t u r a espace d l'espace p r est d i o sur le dénominateur 37 fin de la fraction 1 virgule 73 espace. espace 37 espace égal à l t u r a espace d o espace p r is d i o 64 virgule 01 espace égal à espace a l t u r a espace d o espace p r e d i o$

Hauteur totale

64,01 + 1,8 = 65,81 m

La hauteur du bâtiment est de 65,81 m.

question 5

Déterminer le périmètre du pentagone.

Envisager:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
feu 67° = 2,35

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Réponse: Le périmètre est de 219,1 m.

Le périmètre est la somme des côtés du pentagone. Comme il y a une partie rectangulaire de 80 m, le côté opposé mesure également 80 m de long.

Le périmètre est donné par :

P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b

Étant La, parallèle à la ligne pointillée bleue, on peut déterminer sa longueur à l'aide de la tangente à 67°.

tan espace signe de 67 degrés égal à a sur 10 2 virgule 35 espace égal à espace a sur 10 2 virgule 35 espace. espace 10 espace est égal à espace a 23 virgule 5 espace est égal à espace a

Pour déterminer la valeur de b, on utilise le cosinus de 67°

$cos espace signe de 67 degrés espace égal à espace 10 sur b b est égal au numérateur 10 sur le dénominateur cos espace 67 signe de degré fin de la fraction b est égal au numérateur 10 sur le dénominateur 0 virgule 39 fin de la fraction b espace approximativement égal à 25 virgule 6$

Donc le périmètre vaut :

P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

question 6

Trouvez le sinus et le cosinus de 1110°.

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Considérant le cercle trigonométrique nous avons qu'un tour complet a 360°.

En divisant 1110° par 360°, on obtient 3,0833.... Cela signifie 3 tours complets et un peu plus.

En prenant 360° x 3 = 1080° et en soustrayant de 1110 nous avons :

1110° - 1080° = 30°

Considérant le sens anti-horaire comme positif, après trois tours complets on revient au début, 1080° ou 0°. A partir de ce point, nous avançons encore de 30°.

Donc le sinus et le cosinus de 1110° sont égaux au sinus et au cosinus de 30°

$espace s et n espace de signe de 1110 degrés est égal à l'espace espace s et n espace de signe de 30 degrés est égal à l'espace 1 moitié cos espace 1110 signe de degré l'espace est égal à l'espace cos l'espace signe de 30 degrés l'espace est égal à l'espace numérateur racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de fraction$

question 7

(CEDERJ 2021) En étudiant pour un test de trigonométrie, Júlia a appris que sin² 72° est égal à

1 - cos² 72°.

cos² 72° - 1.

tg² 72° - 1.

1 - tg² 72º.

commentaires expliqués

La relation fondamentale de la trigonométrie dit que :

s et n au carré x espace plus espace cos au carré x est égal à 1

Où x est la valeur de l'angle.

En prenant x = 72º et en isolant le sinus, nous avons :

s et n espace au carré 72º est égal à 1 moins cos espace au carré 72º

question 8

Les rampes sont un bon moyen d'assurer l'accessibilité aux personnes en fauteuil roulant et aux personnes à mobilité réduite. L'accessibilité des bâtiments, du mobilier, des espaces et des équipements urbains est garantie par la loi.

L'Association brésilienne des normes techniques (ABNT), conformément à la loi brésilienne sur l'inclusion des personnes handicapées Handicap (13 146/2015), réglemente la construction et définit la pente des rampes, ainsi que les calculs pour leur construction. Les directives de calcul ABNT indiquent une limite de pente maximale de 8,33 % (rapport 1:12). Cela signifie qu'une rampe, pour surmonter une différence de 1 m, doit avoir au moins 12 m de long et cela définit que l'angle d'inclinaison de la rampe, par rapport au plan horizontal, ne peut pas être supérieur à 7°.

Selon les informations précédentes, de sorte qu'une rampe, d'une longueur égale à 14 m et d'une inclinaison de 7º en par rapport au plan, est dans les normes ABNT, il doit servir à combler un écart d'une hauteur maximale de

Utilisation: sin 7e = 0,12; cos 7º = 0,99 et tan 7º = 0,12.

a) 1,2 m.

b) 1,32 m.

c) 1,4 m.

d) 1,56 m.

e) 1,68 m.

commentaires expliqués

La rampe forme un triangle rectangle dont la longueur est de 14 m, faisant un angle de 7º par rapport à l'horizontale, où la hauteur est le côté opposé à l'angle.

En utilisant le sinus de 7° :

s et n espace signe de 7 degrés égal à a sur 1414 espace. l'espace s et l'espace n L'espace du signe de 7 degrés est égal à l'espace a14. espace 0 virgule 12 espace égal à espace a1 virgule 68 espace égal à espace a

s et n 7e espace est égal à a sur 140 virgule 12 espace. espace 14 espace est égal à espace a1 virgule 68 espace est égal à espace a

La hauteur que la rampe doit atteindre est de 1,68 m.

question 9

(Unesp 2012) Un bâtiment hospitalier est en cours de construction sur un terrain en pente. Pour optimiser la construction, l'architecte responsable a conçu le parking au sous-sol de l'immeuble, avec entrée depuis la rue arrière du terrain. L'accueil de l'hôpital se situe à 5 mètres au-dessus du niveau du parking, nécessitant la construction d'une rampe d'accès droite pour les patients à mobilité réduite. La figure représente schématiquement cette rampe (r), reliant le point A, au niveau de l'accueil, au point B, au niveau du parking, qui doit avoir une inclinaison α minimale de 30º et maximale de 45º.

Dans ces conditions et considérant racine carrée de 2 égale 1 point 4 , quelles devraient être les valeurs maximale et minimale, en mètres, de la longueur de cette rampe d'accès ?

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Réponse: La longueur de la rampe d'accès sera de 7 m minimum et de 10 m maximum.

Le projet prévoit déjà et fixe la hauteur à 5 m. Il faut calculer la longueur de la rampe, qui est l'hypoténuse du triangle rectangle, pour les angles de 30° et 45°.

Pour le calcul, nous avons utilisé le sinus de l'angle, étant le rapport entre le côté opposé, 5m, et l'hypoténuse r, qui est la longueur de la rampe.

Pour les angles notables 30° et 45° les valeurs des sinus sont :

$espace s et n espace de signe de 30 degrés est égal à l'espace 1 moitié espace s et n espace de signe de 45 degrés est égal à l'espace numérateur racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de la fraction$

pour 30°

$s et n espace 30 degrés signe égal à 5 sur r r espace égal au numérateur 5 sur le dénominateur s et n degré 30 signe fin de fraction r l'espace est égal au numérateur 5 sur le dénominateur commencer le style afficher 1 milieu fin du style fin de la fraction r est égal à 5 espace. espace 2 r espace égal à 10$

à 45°

$s et n espace signe à 45 degrés est égal à 5 sur r r est égal au numérateur 5 sur le dénominateur s et n espace signe à 45 degrés fin de la fraction r est égal au numérateur 5 sur le dénominateur style de début afficher la racine carrée du numérateur de 2 sur le dénominateur 2 fin de la fraction fin du style fin de la fraction r est égal au numérateur 5 espace. espace 2 sur le dénominateur racine carrée de 2 fin de la fraction r espace égal au numérateur 10 sur le dénominateur racine carrée de 2 fin de la fraction$

rationaliser

$r est égal au numérateur 10 sur la racine carrée du dénominateur de 2 fin de fraction. numérateur racine carrée de 2 sur dénominateur racine carrée de 2 fin de fraction égale numérateur 10 racine carrée de 2 sur dénominateur 2 fin de fraction$

En remplaçant la valeur de

$r est égal au numérateur 10 espace. espace 1 virgule 4 sur dénominateur 2 fin de fraction égale 7$

questions 10

(EPCAR 2020) La nuit, un hélicoptère de l'armée de l'air brésilienne survole une région plate et repère un UAV (Air Vehicle sans pilote) de forme circulaire et de hauteur négligeable, d'un rayon de 3 m stationné parallèlement au sol à 30 m de la taille.

L'UAV est à une distance de y mètres d'un projecteur qui a été installé sur l'hélicoptère.

Le faisceau de lumière du projecteur qui passe devant le drone tombe sur la région plate et produit une ombre circulaire de centre O et de rayon R.

Le rayon R de la circonférence de l'ombre forme un angle de 60º avec le faisceau lumineux, comme le montre la figure suivante.

A ce moment, une personne qui est au point A sur la circonférence de l'ombre court au point O, pied de la perpendiculaire tirée du projecteur à la région plane.

La distance, en mètres, que cette personne parcourt de A à O est un nombre compris entre

a) 18 et 19

b) 19 et 20

c) 20 et 21

d) 22 et 23

commentaires expliqués

objectif

Déterminer la longueur du segment AO dans le cadre supérieur , rayon du cercle de l'ombre.

Données

La hauteur de O à UAV est de 30 m.
Le rayon du drone est de 3 m.

En utilisant la tangente à 60°, nous déterminons la partie surlignée en rouge dans l'image suivante :

Image associée à la résolution du problème.

Considérant la tangente de 60° = racine carrée de 3 et la tangente étant le rapport entre le côté opposé à l'angle et son côté adjacent, on a :

$tan espace signe de 60 degrés égal à 30 sur xx égal au numérateur 30 sur le dénominateur racine carrée de 3 fin de la fraction$

rationaliser

$x espace est égal à l'espace numérateur 30 sur le dénominateur racine carrée de 3 fin de fraction. numérateur racine carrée de 3 sur dénominateur racine carrée de 3 fin de fraction égale numérateur 30 racine carrée de 3 sur dénominateur 3 fin de fraction égale 10 racine carrée de 3$