Le domaine, la plage et la plage sont des ensembles numériques liés par des fonctions mathématiques. Celles-ci transforment les valeurs à travers leurs lois de formation et les transportent d'un ensemble de sortie, le domaine, vers un ensemble d'arrivée, la plage.
De l'ensemble du domaine viennent les valeurs qui seront transformées par la formule de la fonction, ou loi de formation. Ensuite, ces valeurs arrivent au codomaine.
Le sous-ensemble formé par les éléments qui arrivent dans le codomaine est appelé l'ensemble d'images.
De cette manière, le domaine, la plage et la plage sont des ensembles non vides et peuvent être finis ou infinis.
Dans l'étude des fonctions, il est nécessaire de préciser quels éléments ou quelle est la portée de ces ensembles. Par exemple: ensemble de nombres naturels ou ensemble de nombres réels.
Étant donné un domaine A dans lequel chaque élément x qui lui appartient est transformé par la fonction en un élément y qui appartient à la plage B, chaque élément y est appelé une image de x.
Pour désigner le domaine et l'étendue d'une fonction, on utilise la notation :
(on lit f de A à B)
Ces lois de transformation sont des expressions qui impliquent des opérations et des valeurs numériques.
Exemple
Une fonction f: A→B définie par la loi de formation f(x) = 2x, où son domaine est l'ensemble A={1, 2, 3} et la plage B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, peut être représentée par les valeurs du tableau et les schémas :
|
Domaine X |
f(x) = 2x |
Image et |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organisation des résultats du tableau en diagrammes :
Domaine
Le domaine D d'une fonction f est l'ensemble de sortie, composé des éléments x appliqués à la fonction.
Géométriquement, dans un plan cartésien, les éléments du domaine forment l'axe des abscisses.
dans la notation le domaine est représenté par la lettre avant la flèche.
Chaque élément x du domaine a au moins une image y dans le codomaine.
codomaine
Le domaine CD est l'ensemble d'arrivée. dans la notation est représenté sur le côté droit de la flèche.
Image
L'image Im est un sous-ensemble de la plage, formé par les éléments y qui quittent la fonction et arrivent à la plage, qui peuvent avoir le même nombre d'éléments, ou un nombre inférieur.
De cette manière, l'ensemble d'images d'une fonction f est contenu dans le codomaine.
Géométriquement, dans un plan cartésien, les éléments du jeu d'images forment l'axe des ordonnées.
Il est courant de dire que y est la valeur prise par la fonction f(x) et, de cette manière, on écrit :
Il est possible qu'un même élément y soit une image de plus d'un élément x dans le domaine.
Exemple
en fonction défini par la loi
, pour les valeurs x symétriques du domaine, nous avons une seule image y.
en savoir plus sur les fonctions.
Exercices sur les domaines, co-domaines et images
Exercice 1
Étant donné les ensembles A = {8, 12, 13, 20, 23} et B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, déterminer: domaine, intervalle et intervalle des les fonctions.
a) f: A → B défini par f (x) = 2x + 1
b) f: A → B défini par f (x) = 3x - 14
a) f: A → B défini par f (x) = 2x + 1
Domaine A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domaine B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Image Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | Je (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2.8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2.12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2.13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2.20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2.23+1 | 47 |
b) f: A → B défini par f (x) = 3x - 14
Domaine A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domaine B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Image Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | Je (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3.8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3.12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3.13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3.20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3.23 - 14 | 55 |
Exercice 2
Déterminer le domaine des fonctions défini par :
Le domaine est l'ensemble des valeurs possibles que x peut prendre.
a) Nous savons qu'il n'est pas possible d'avoir une division par zéro 0, donc le dénominateur doit être différent de zéro.
On lit: x appartient aux réels tels que x est différent de 2.
b) Il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif. Par conséquent, le radicande doit être supérieur ou égal à zéro.
On lit: x appartient aux réels tels que x est supérieur ou égal à 5.
Exercice 3
Étant donné la fonction de domaine dans l'ensemble des entiers quel est l'ensemble d'images de f(x) ?
L'ensemble Z d'entiers admet à la fois des nombres négatifs et positifs où deux nombres consécutifs sont distants de 1 unité.
De cette façon, la fonction admet des valeurs positives et négatives. Cependant, puisque x est au carré, chaque valeur, même négative, renverra une valeur positive.
Exemple
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
De cette façon, il n'y aura que des nombres naturels dans l'image.
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Applications et curiosités
Les fonctions ont une application dans l'étude de tout phénomène dans lequel un paramètre dépend d'un autre. Comme, par exemple, la vitesse d'un meuble dans le temps, les effets d'un médicament avec les caractéristiques d'acidité dans l'estomac, la température d'une chaudière avec la quantité de combustible.
Les fonctions sont présentes dans des phénomènes réels et, par conséquent, ont une application dans toutes les études scientifiques et techniques.
L'étude des fonctions n'est pas récente, certains enregistrements dans l'Antiquité dans les tables babyloniennes montrent qu'elles faisaient déjà partie des mathématiques. Au fil des ans, la notation, la façon dont elles sont écrites, a reçu des contributions de plusieurs mathématiciens et s'est améliorée, jusqu'à ce que nous les utilisions aujourd'hui.
