Vecteurs: qu'est-ce que c'est, opérations, applications et exercices

Le vecteur est la représentation qui détermine l'amplitude, la direction et la direction d'une quantité vectorielle. Les vecteurs sont des segments droits orientés par une flèche à une extrémité.

Nous nommons les vecteurs avec une lettre et une petite flèche.

Les vecteurs caractérisent les quantités vectorielles, qui sont des quantités qui nécessitent une orientation, c'est-à-dire une direction et une direction. Quelques exemples sont: la force, la vitesse, l'accélération et le déplacement. La valeur numérique ne suffit pas, il faut décrire où agissent ces grandeurs.

module d'un vecteur

Le module du vecteur, ou intensité, est sa valeur numérique, suivie de l'unité de mesure de la grandeur qu'il représente, par exemple :

Vecteur de longueur égal à 2 m. — Vecteur qui représente la grandeur de la longueur, avec un module de deux mètres.

On indique le module entre les barres en gardant la flèche ou, juste la lettre, sans barres et sans flèche.

Indication du module entre les barres et sans.

La longueur du vecteur est proportionnelle au module. Un vecteur plus grand représente un module plus grand.

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Comparaison entre les modules de deux vecteurs, l'un à 4 et l'autre à 3 unités de mesure.

le module vectoriel droit b avec flèche droite en exposant est de 4 unités, tandis que le vecteur droit a avec flèche droite en exposant est de 2 unités.

Direction d'un vecteur

La direction du vecteur est la pente de la ligne d'appui sur laquelle il est déterminé. Il n'y a qu'une seule direction pour chaque vecteur.

Vecteurs a, b et c avec pente verticale, horizontale et oblique. — Directions verticales, horizontales et obliques (inclinées) des vecteurs.

sens d'un vecteur

La direction du vecteur est indiquée par la flèche. La même direction peut contenir deux directions, telles que haut ou bas et gauche ou droite.

Le vecteur d et son contraire -d. — Des vecteurs avec la même direction, des directions horizontales et opposées.

En adoptant une direction comme positive, la direction opposée, négative, est représentée par un signe moins avant le symbole vectoriel.

Vecteur résultant

Le vecteur résultant est le résultat d'opérations vectorielles et équivaut à un ensemble de vecteurs. Il est pratique de connaître le vecteur qui représente l'effet produit par plus d'un vecteur.

Par exemple, un corps peut être soumis à un ensemble de forces et on veut connaître le résultat qu'elles vont produire, toutes ensemble, sur ce corps. Chaque force est représentée par un vecteur, mais le résultat ne peut être représenté que par un seul vecteur: le vecteur résultant.

La force résultante de l'action des forces agissant sur la caisse.

Le vecteur résultant, R droit avec flèche droite en exposant , de direction horizontale et de direction vers la droite, est le résultat des additions et soustractions des vecteurs. droit a avec flèche droite en exposant , droit b avec flèche droite en exposant , c droit avec flèche droite en exposant et d droit avec flèche droite en exposant . Le vecteur résultant montre une tendance du corps à se déplacer dans cette orientation.

Les vecteurs à direction verticale ont la même taille, c'est-à-dire le même module. Comme ils ont des sens opposés, ils s'annulent. Cela montre qu'il n'y aura pas de mouvement de la caisse dans le sens vertical.

Lors de l'analyse des vecteurs c avec flèche droite en exposant et d avec flèche droite en exposant , qui ont la même direction et des directions opposées, on se rend compte qu'une partie de la force "reste" à droite, comme le vecteur est plus grand que le , c'est-à-dire le module de c'est plus gros.

Pour déterminer le vecteur résultant, nous effectuons des opérations d'addition et de soustraction de vecteurs.

Addition et soustraction de vecteurs de même direction

Avec sens égaux, nous ajoutons les modules et gardons la direction et la direction.

Exemple:

Somme des vecteurs a et b, avec la même direction et la même direction.

Graphiquement, nous plaçons les vecteurs en séquence, sans changer leurs modules. Le début de l'un doit coïncider avec la fin de l'autre.

La propriété commutative de l'addition est valide, car l'ordre ne change pas le résultat.

Avec sens opposés, on soustrait les modules et on garde la direction. La direction du vecteur résultant est celle du vecteur de plus grand module.

Exemple:
Soustraction entre deux vecteurs de même direction.

le vecteur R droit avec flèche droite en exposant est la partie restante de droit b avec flèche droite en exposant , après avoir retiré droit a avec flèche droite en exposant .

Soustraire un vecteur équivaut à ajouter l'opposé de l'autre.
droit un espace moins un espace droit b l'espace est égal à un espace droit un espace plus un espace parenthèse gauche moins b droit parenthèse droite espace espace

Addition et soustraction de vecteurs perpendiculaires

Pour additionner deux vecteurs avec des directions perpendiculaires, on déplace les vecteurs sans changer leur module, de sorte que le début de l'un coïncide avec la fin de l'autre.

Le vecteur résultant relie le début du premier à la fin du second.

Somme de deux vecteurs perpendiculaires.

Pour déterminer l'amplitude du vecteur résultant entre deux vecteurs perpendiculaires, nous faisons correspondre le début des deux vecteurs.

Module du vecteur résultant entre deux vecteurs perpendiculaires.

Le module du vecteur résultant est déterminé par le théorème de Pythagore.

style de début taille mathématique 20px R droit est égal à la racine carrée d'un carré droit plus un carré b droit fin de la racine fin du style

Addition et soustraction de vecteurs obliques

Deux vecteurs sont obliques lorsqu'ils forment un angle entre leurs directions autre que 0°, 90° et 180°. Pour ajouter ou soustraire des vecteurs obliques, les méthodes du parallélogramme et de la ligne polygonale sont utilisées.

méthode du parallélogramme

Pour effectuer la méthode, ou la règle, du parallélogramme entre deux vecteurs et dessiner le vecteur résultant, nous suivons ces étapes :

La première étape consiste à positionner leurs origines au même point et à tracer des lignes parallèles aux vecteurs pour former un parallélogramme.

La seconde consiste à tracer un vecteur diagonal sur le parallélogramme, entre l'union des vecteurs et l'union des droites parallèles.

Vecteur résultant de la somme de deux vecteurs obliques.

Les lignes pointillées sont parallèles aux vecteurs et la figure géométrique formée est un parallélogramme.

Le vecteur résultant est la ligne reliant l'origine des vecteurs aux parallèles.

O module du vecteur résultant est obtenu par la loi du cosinus.

start style math size 20px droit R est égal à la racine carrée de droit a au carré plus droit b au carré plus 2 ab. cosθ fin de la racine fin du style

Où:

R est la grandeur du vecteur résultant;
a est le module vectoriel la flèche droite en exposant ;
b est le module du vecteur pile espace b avec flèche droite au-dessus ;
mésange droite est l'angle formé entre les directions des vecteurs.

La méthode du parallélogramme est utilisée pour ajouter une paire de vecteurs. Si vous souhaitez ajouter plus de deux vecteurs, vous devez les ajouter deux par deux. Au vecteur résultant de la somme des deux premiers, on ajoute le troisième et ainsi de suite.

Une autre façon d'ajouter plus de deux vecteurs consiste à utiliser la méthode de la ligne polygonale.

méthode de ligne polygonale

La méthode de la ligne polygonale est utilisée pour trouver le vecteur résultant de l'ajout de vecteurs. Cette méthode est particulièrement utile lors de l'ajout de plus de deux vecteurs, tels que les vecteurs suivants droit a avec flèche droite en exposant , droit b avec flèche droite en exposant , c droit avec flèche droite en exposant et d droit avec flèche droite en exposant .

Vecteurs dans différentes directions et orientations.

Pour utiliser cette méthode, nous devons ordonner les vecteurs de manière à ce que la fin de l'un (flèche) coïncide avec le début de l'autre. Il est important de conserver le module, la direction et la direction.

Après avoir disposé tous les vecteurs sous la forme d'une ligne polygonale, il faut tracer le vecteur résultant qui va du début du premier à la fin du dernier.

Vecteur de résultat déterminé par la méthode de la ligne polygonale.

Il est important que le vecteur résultant ferme le polygone, avec sa flèche coïncidant avec la flèche du dernier vecteur.

La propriété commutative est valide, puisque l'ordre dans lequel nous plaçons les vecteurs de tracé ne change pas le vecteur résultant.

décomposition vectorielle

Décomposer un vecteur, c'est écrire les composantes qui composent ce vecteur. Ces composants sont d'autres vecteurs.

Chaque vecteur peut être écrit comme une composition d'autres vecteurs, à travers une somme vectorielle. En d'autres termes, nous pouvons écrire un vecteur comme étant la somme de deux vecteurs, que nous appelons composants.

En utilisant un système de coordonnées cartésiennes, avec des axes x et y perpendiculaires, nous déterminons les composantes du vecteur.

style de départ taille mathématique 20px droit a avec flèche droite exposant égal espace droit a avec flèche droite exposant avec espace indice x droit plus espace a avec flèche droite exposant avec indice y droit fin de style

le vecteur droit a avec flèche droite en exposant est le résultat de la somme vectorielle entre les vecteurs composants. droite a avec flèche droite exposant avec droite x indice et .

le vecteur droit a avec flèche droite en exposant inclinaison mésange droite forme un triangle rectangle avec l'axe des x. Ainsi, nous déterminons les modules des vecteurs composants à l'aide de la trigonométrie.

Axe de module de composant.
start style math size 16px directement un avec un indice x droit égal à un espace droit a. cos espace droit thêta fin de style

Module composant ay.
start style math size 16px straight a avec y indice égal à l'espace rectiligne a. sen straight space thêta fin de style

le module vectoriel droit a avec flèche droite en exposant est obtenu à partir du théorème de Pythagore.

début du style math taille 20px droit a égal à la racine carrée du droit a avec droit x indice carré droit a avec droit y indice carré fin de la racine fin du style

Exemple
Une force est exercée en tirant un bloc du sol. La force de module de 50 N est inclinée de 30° par rapport à l'horizontale. Déterminer les composantes horizontale et verticale de cette force.

Données: $sin espace 30 degrés signe égal au numérateur 1 espace au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction droite e espace cos espace 30 degré signe égal à la racine carrée du numérateur de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction$

$Fx espace égal à l'espace droit F espace cos espace droit thêta égal à 50. numérateur racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction égale à 25 racine carrée de 3 espace droit N asymptotiquement égal à 43 virgule 30 espace droit N Fy espace égal à l'espace droit F espace sin espace droit thêta égal à 50,1 moitié égal à 25 espace droit N$

Multiplication d'un nombre réel par un vecteur

En multipliant un nombre réel par un vecteur, le résultat sera un nouveau vecteur, qui a les caractéristiques suivantes :

Même sens si le nombre réel est différent de zéro ;
Même sens, si le nombre réel est positif, et dans le sens inverse s'il est négatif ;
Le module sera le produit du module du nombre réel et du module du vecteur multiplié.

Produit entre un nombre réel et un vecteur

début du style math taille 20px u droit avec exposant flèche droite égal n droit v exposant flèche droite fin du style

Où:
droite u avec flèche droite en exposant est le vecteur résultant de la multiplication ;
droit est le nombre réel ;
v droit avec flèche droite en exposant est le vecteur multiplié.

Exemple
Soit le nombre réel n = 3 et le vecteur v droit avec flèche droite en exposant de modulo 2, le produit entre eux est égal à :

Calcul des modules
Erreur lors de la conversion de MathML en texte accessible.

La direction et la direction seront les mêmes.

Multiplication d'un nombre réel n par un vecteur v.

Exercice 1

(Enem 2011) La force de frottement est une force qui dépend du contact entre les corps. Il peut être défini comme une force opposée à la tendance au déplacement des corps et est généré en raison d'irrégularités entre deux surfaces en contact. Sur la figure, les flèches représentent les forces agissant sur le corps et le point agrandi représente les irrégularités qui existent entre les deux surfaces.

2011 Enem question image sur les vecteurs

Sur la figure, les vecteurs qui représentent les forces qui provoquent le déplacement et le frottement sont respectivement :

Les) Alternative à - Question Enem sur les vecteurs.

B) Alternative b - Question Enem sur les vecteurs.

ç) Alternative c - Question Enem sur les vecteurs.

ré) Alternative d - Question Enem sur les vecteurs.

et) Alternative e - Question Enem sur les vecteurs.

Voir la réponse

Bonne réponse: lettre a) Alternative à - Question Enem sur les vecteurs.

Les flèches représentent les vecteurs de forces qui agissent dans le mouvement dans le sens horizontal, étant une paire action-réaction, elles ont des directions opposées.

Les flèches verticales représentent les actions de la Force Poids et de la Force Normale et, comme elles sont égales, elles s'annulent, sans mouvement dans le sens vertical.

Exercice 2

(UEFS 2011) Le diagramme vectoriel de la figure décrit les forces exercées par deux élastiques sur une dent d'une personne subissant un traitement orthodontique.

En supposant F = 10,0N, sen45° = 0,7 et cos45° = 0,7, l'intensité de la force appliquée par les élastiques sur la dent, en N, est égale à

a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45

Voir la réponse

Bonne réponse: c) 2√85

L'intensité de la force appliquée à la dent est obtenue par la loi des cosinus.

R au carré est égal à a au carré plus b au carré plus 2 a b cos thêta

a et b sont égaux à 10 N.

R au carré est égal à 10 au carré plus 10 au carré plus 2.10.10. cos signe de 45 degrés R au carré est égal à 100 plus 100 plus 2.10.10.0 point 7 R au carré est égal à 340 R est égal à la racine carrée de 340

La factorisation de la racine carrée nous donne :

Par conséquent, l'intensité de la force résultante appliquée par les élastiques sur la dent est 2 racine carrée de 85 espace droit N .

Exercice 3

(PUC RJ 2016) Les forces F1, F2, F3 et F4, sur la figure, forment des angles droits l'une par rapport à l'autre et leurs modules sont respectivement 1 N, 2 N, 3 N et 4 N.

Image associée à la résolution de la question.

Calculer le module de la force nette, en N.

a) 0
b) 2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10

Voir la réponse

Bonne réponse: d) 2√ 2

Nous utilisons la méthode de la ligne polygonale pour déterminer le vecteur résultant. Pour ce faire, nous réorganisons les vecteurs de sorte que la fin de l'un coïncide avec le début de l'autre, comme ceci :

Somme vectorielle par la méthode de la ligne polygonale.

En utilisant un système de coordonnées avec l'origine au début du vecteur résultant, nous pouvons déterminer les modules de ses composants, comme suit :