Rapports trigonométriques sécante, cosécante et cotangente sont l'inverse des raisons cosinus, sinus et tangente. L'étude de la trigonométrie en cycle trigonométrique obtenu de grandes contributions au développement de fonctions inverses
Le rapport sinusoïdal inverse (sin x) est connu sous le nom de cosécante (cossec x), le rapport cosinus inverse (cos x) est connu comme la sécante (sec x), et le rapport inverse de la tangente (tg x) est connu comme la cotangente (cotg X). Ils peuvent être représentés par :
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cosécante
Connu sous le nom de rapport trigonométrique sinus inverse, la cosécante est fixée à angles dont le sinus est non nul. Pour trouver la cosécante d'un angle x, il suffit de calculer l'inverse de sa valeur sinusoïdale.
Exemple
Calculer la valeur de cossec 60º.
Cosécante dans le cycle trigonométrique
Dans l'étude de la trigonométrie, le rapport cosécant est lié à la
cycle trigonométrique, qui est un cercle de rayon 1. Pour trouver géométriquement la cosécante d'un angle, connaissant l'angle x, traçons la droite tangente au point B, droite t. La cosécante de x sera la segment reliant le centre au point où la droite t coupe l'axe vertical, représenté par AC dans l'image.
Condition d'existence de la cosécante
Comme on a vu que la valeur de la cosécante est le segment qui relie le centre du cercle au point où la tangente touche l'axe vertical, on se rend compte que il y a trois angles où il n'y a pas de cosécante définie, car la tangente ne touche pas l'axe vertical.
Il n'y a pas de cosécante pour les angles de 0º, 180º et 360º. Rappelons qu'à ces angles la valeur du sinus est zéro, algébriquement, nous calculerions la division de 1 par zéro, ce qui n'est pas possible.
signe cosécant
Il est possible de voir, dans la représentation du cycle, que pour des angles supérieurs à 0º et moins de 180º, la cosécante sera toujours positive. pour les angles au dessus de 180º, le signe de la cosécante sera négatif, c'est-à-dire que la cosécante est positive dans les 1er et 2e quadrants et négative dans les 3e et 4e quadrants.
Voir aussi: Réduction au premier quadrant du cycle trigonométrique
séchage
connu comme le rapport trigonométrique inverse cosinus, la sécante est définie pour les angles dont le cosinus est non nul. Pour trouver la sécante d'un angle x, il suffit de calculer l'inverse de sa valeur en cosinus.
Exemple:
Calculer les 45° sec.
Sécante dans le cycle trigonométrique
Pour trouver géométriquement la sécante d'un angle, connaissant l'angle x, traçons la droite t, tangente au point B. La sécante de x sera la segment reliant le centre au point où la droite t coupe le axe horizontal, représenté par CD dans l'image.
Condition d'existence de la sécante
Il n'y a pas de sécante pour les angles de 90º et 270º, géométriquement, car en ces points la droite t ne touche pas l'axe horizontalement et algébriquement, car la valeur du cosinus de 90° et 270° est zéro, et la division de 1 par zéro est impossible.
signe sécant
Pour les angles supérieurs à 0º et inférieurs à 90º et pour les angles supérieurs à 270º et inférieurs à 360º, la sécante sera toujours positive. Pour les angles supérieurs à 90º et inférieurs à 270º, le signe de la sécante sera négatif, c'est-à-dire la sécante est positive dans les 1er et 4e quadrants et négative dans les 2e et 3e quadrants.
Voir aussi: Applications des lois trigonométriques d'un triangle: sinus et cosinus
Cotangente
connu comme le rapport trigonométrique inverse de tangente, la cotangente est définie pour les angles dont la tangente est non nulle. Pour trouver la cotangente d'un angle x, il suffit de calculer l'inverse de sa valeur de tangente.
Exemple:
Calculez le cotg 30º.
Cotangente dans le cycle trigonométrique
Pour représenter la cotangente, nous traçons une ligne p, parallèle à l'axe horizontal au point A. Ensuite, lors de la construction de l'angle x, nous traçons la ligne r, qui passe par le centre C et par le point B, pour trouver le point E, qui est le point de rencontre entre les lignes p et r. La piste AE sera la cotangente de l'angle x.
Condition d'existence cotangente
la cotangente n'existe pas pour les angles dont la tangente est égale à zéro, qui sont les angles de 0º, 180º et 360º. Géométriquement, à ces angles, la ligne r sera parallèle a p, ils n'ont donc pas de point commun, ce qui rend impossible le tracé du segment AE.
signe cotangent
Le signe de la cotangente est positif pour les angles supérieurs à 0º et inférieurs à 90º et également pour les angles supérieurs à 180º et inférieurs supérieur à 270º, et est négatif pour les angles supérieurs à 90º et inférieurs à 180º et également pour les angles supérieurs à 270º et inférieurs à 360º. Donc la cotangente il est positif pour les 1er et 3e quadrants (impair) et négatif pour les 2e et 4e quadrants (pair).
Exécutions résolues
question 1 – Les fonctions trigonométriques cotg x et sec x dans le deuxième quadrant ont respectivement des images :
a) positif et positif
b) négatif et négatif
c) positif et négatif
d) négatif et positif
Résolution
Variante B.
En analysant le comportement de chacune des fonctions, on constate que la cotangente est positive dans les quadrants impairs et négative dans les quadrants pairs, elle sera donc négative dans le 2ème quadrant. La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants et négative dans les deuxième et troisième quadrants, elle sera donc également négative.
question 2 - Sachant que x = 90º, la valeur de l'expression est :
Résolution
Variante C.
En substituant x = 90º, nous avons ceci :
Calculons maintenant séparément chacun des rapports trigonométriques :
En calculant chacun d'eux, il est possible de substituer dans l'expression :
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm