Fonction exponentielle: 5 exercices commentés

LES fonction exponentielle est toute fonction de dans ℝ^*_+, défini par f(x) = a^X, où a est un nombre réel, supérieur à zéro et différent de 1.

Profitez des exercices commentés pour lever tous vos doutes sur ce contenu et assurez-vous de vérifier vos connaissances dans les questions résolues des concours.

Exercices commentés

Exercice 1

Un groupe de biologistes étudie le développement d'une colonie particulière de bactéries et ont trouvé que dans des conditions idéales, le nombre de bactéries peut être trouvé par l'expression N(t) = 2000. 2^0.5t, étant t en heures.

Dans ces conditions, combien de temps après le début de l'observation le nombre de bactéries sera-t-il égal à 8192 000 ?

Solution

Dans la situation proposée, nous connaissons le nombre de bactéries, c'est-à-dire que nous savons que N(t) = 8192000 et nous voulons trouver la valeur de t. Alors, remplacez simplement cette valeur dans l'expression donnée :

Pour résoudre cette équation, écrivons le nombre 4096 en facteurs premiers, car si nous avons la même base, nous pouvons égaler les exposants. Donc, en factorisant le nombre, on a :

Ainsi, la culture comptera 8 192 000 bactéries après 1 jour (24 h) à compter du début de l'observation.

Exercice 2

Les matières radioactives ont une tendance naturelle, avec le temps, à désintégrer leur masse radioactive. Le temps qu'il faut pour que la moitié de sa masse radioactive se désintègre s'appelle sa demi-vie.

La quantité de matière radioactive d'un élément donné est donnée par :

Étant,

N(t): la quantité de matière radioactive (en grammes) dans un temps donné.
N₀: la quantité initiale de matière (en grammes)
T: temps de demi-vie (en années)
t: temps (en années)

Considérant que la demi-vie de cet élément est égale à 28 ans, déterminer le temps nécessaire pour que la matière radioactive se réduise à 25 % de sa quantité initiale.

Solution

Pour la situation proposée A(t) = 0,25 A₀ = 1/4A₀, on peut donc écrire l'expression donnée, en remplaçant T par 28 ans, alors :

Il faudra donc 56 ans pour que la quantité de matières radioactives soit réduite de 25 %.

Questions sur le concours

1) Unesco - 2018

L'ibuprofène est un médicament prescrit contre la douleur et la fièvre, avec une demi-vie d'environ 2 heures. Cela signifie que, par exemple, après 2 heures d'ingestion de 200 mg d'ibuprofène, il ne restera que 100 mg de médicament dans le sang du patient. Après encore 2 heures (4 heures au total), il ne restera que 50 mg dans la circulation sanguine et ainsi de suite. Si un patient reçoit 800 mg d'ibuprofène toutes les 6 heures, la quantité de ce médicament qui restera dans le sang pendant la 14e heure après avoir pris la première dose sera

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Voir la réponse

Comme la quantité initiale de médicament dans le sang toutes les 2 heures est divisée par deux, nous pouvons représenter cette situation en utilisant le schéma suivant :

Notez que l'exposant, dans chaque situation, est égal au temps divisé par 2. Ainsi, on peut définir la quantité de médicament dans le sang en fonction du temps, en utilisant l'expression suivante :

Étant

Q(t): la quantité dans une heure donnée
Q₀: le montant initial ingéré
t: temps en heures

En considérant que 800 mg d'ibuprofène ont été pris toutes les 6 h, alors on a :

Pour trouver la quantité de médicament dans le sang 14 heures après l'ingestion de la 1ère dose, il faut additionner les quantités se référant aux 1ère, 2ème et 3ème doses. En calculant ces quantités, on a :

La quantité de la 1ère dose se trouvera en considérant le temps égal à 14 h, on a donc :

Pour la deuxième dose, comme indiqué dans le schéma ci-dessus, le temps était de 8 heures. En remplaçant cette valeur, on a :

Le temps pour la 3e dose ne sera que de 2 heures. La quantité liée à la 3ème dose sera alors :

Maintenant que l'on connaît les quantités pour chaque dose ingérée, on peut trouver la quantité totale en additionnant chacune des quantités trouvées :

Q_{le total}= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternative b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Un lac utilisé pour alimenter une ville a été contaminé après un accident industriel, atteignant le niveau de toxicité T₀, correspondant à dix fois le niveau initial.
Lisez les informations ci-dessous.

• Le débit naturel du lac permet de renouveler 50 % de son volume tous les dix jours.
• Le niveau de toxicité T(x), après x jours de l'accident, peut être calculé à l'aide de l'équation suivante :

Considérons D le plus petit nombre de jours de suspension de l'alimentation en eau, nécessaire pour que la toxicité revienne au niveau initial.
Si log 2 = 0,3, la valeur de D est égale à :

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Voir la réponse

Pour revenir au niveau de toxicité initial il faut que :

En remplaçant cette valeur dans la fonction donnée, nous avons :

En multipliant en "croix", l'équation devient :

2 ^0,1x= 10

Appliquons le logarithme de base 10 aux deux côtés pour le transformer en une équation du 1er degré :

journal (2^0,1x) = journal 10

En se rappelant que le log de 10 en base 10 est égal à 1, notre équation ressemblera à :

0,1x. log 2 = 1

En considérant que log 2 = 0,3 et en substituant cette valeur dans l'équation :

Ainsi, le plus petit nombre de jours, approximativement, pendant lesquels l'approvisionnement devrait être suspendu est de 34 jours.

Variante c) 34

3) Fuvesp - 2018

Soient f: ℝ → ℝ et g: ℝ₊ →ℝ défini par

respectivement.

Le graphique de la fonction composée g_ºFoi:

Voir la réponse

Le graphique que vous recherchez est la fonction composée g_ºf, par conséquent, la première étape consiste à déterminer cette fonction. Pour cela, il faut remplacer la fonction f(x) dans le x de la fonction g(x). En faisant ce remplacement, on trouvera :

En utilisant la propriété logarithmique du quotient et d'une puissance, on a :

Notez que la fonction trouvée ci-dessus est de type ax+b, qui est une fonction affine. Votre graphique sera donc une ligne droite.

De plus, la pente a est égale à log₁₀ 5, qui est un nombre positif, donc le graphique va augmenter. De cette façon, nous pouvons éliminer les options b, c et e.

Il nous reste les options a et d, cependant, lorsque x=0, nous avons gof = - log₁₀ 2 qui est une valeur négative comme représenté dans le graphique a.

Variante a)

4) Unicamp - 2014

Le graphique ci-dessous montre la courbe de potentiel biotique q (t) pour une population de micro-organismes au cours du temps t.

Puisque a et b sont des constantes réelles, la fonction qui peut représenter ce potentiel est

a) q(t) = à + b
b) q(t) = ab^t
c) q(t) = ಠ+ bt
d) q(t) = a + log _B t

Voir la réponse

À partir du graphique présenté, nous pouvons identifier que lorsque t=0, la fonction est égale à 1000. De plus, il est également possible d'observer que la fonction n'est pas affine, car le graphe n'est pas une droite.

Si la fonction était de type q (t) = à²+bt, lorsque t = 0, le résultat serait égal à zéro et non à 1000. Ce n'est donc pas non plus une fonction quadratique.

Comment se connecter_B0 n'est pas défini, et il ne pourrait pas non plus avoir comme réponse la fonction q (t) = a + log_Bt.

Ainsi, la seule option serait la fonction q(t) = ab^t. Considérant t=0, la fonction sera q (t) = a, comme a est une valeur constante, il suffit qu'elle soit égale à 1000 pour que la fonction s'adapte au graphique donné.

Alternative b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Le syndicat des travailleurs d'une entreprise suggère que le salaire plancher de la classe soit de 1 800,00 R$, proposant un pourcentage d'augmentation fixe pour chaque année consacrée au travail. L'expression qui correspond à la ou aux propositions salariales, en fonction de l'ancienneté (t), en années, est s (t) = 1800. (1,03)^t .

Selon la proposition du syndicat, le salaire d'un professionnel de cette entreprise avec 2 ans de service sera, en reais,

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3.709,62
d) 3 708,00
e) 1 909.62.

Voir la réponse

L'expression de calcul du salaire en fonction du temps proposée par le syndicat correspond à une fonction exponentielle.

Pour trouver la valeur du salaire dans la situation indiquée, calculons la valeur de s, lorsque t=2, comme indiqué ci-dessous :

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Variante e) 1 909.62

Lire aussi:

• Fonction exponentielle
• Logarithme
• Logarithme - Exercices
• Propriétés du logarithme
• potentialisation
• exercices de potentialisation
• Fonction affine
• Fonction linéaire
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• Fonction quadratique
• Fonction quadratique - Exercices
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