Exercices de trigonométrie dans le triangle rectangle commentés

La trigonométrie est un thème important en mathématiques qui permet de connaître les côtés et les angles d'un triangle rectangle, via le sinus, le cosinus et la tangente, en plus d'autres fonctions trigonométriques.

Pour améliorer vos études et élargir vos connaissances, suivez la liste de 8 exercices, plus 4 questions d'examen d'entrée, tous résolus étape par étape.

Exercice 1

En observant le matin l'ombre d'un bâtiment au sol, une personne a constaté qu'il mesurait 63 mètres lorsque les rayons du soleil faisaient un angle de 30° avec la surface. Sur la base de ces informations, calculez la hauteur du bâtiment.

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Bonne réponse: Environ 36,37 m.

Le bâtiment, l'ombre et le rayon du soleil déterminent un triangle rectangle. En utilisant l'angle de 30° et la tangente, nous pouvons déterminer la hauteur du bâtiment.

$tang e n t e espace égal à l'espace numérateur c a t e t o espace opos t o sur dénominateur c a t e t espace a d j a c e n t e fin de fraction$

La hauteur du bâtiment étant h, on a :

$tan espace 30 degrés signe espace égal à l'espace h sur 63 espace espace h espace égal à l'espace 63 espace signe de multiplication espace tan espace 30 degrés signe espace espace espace h espace égal à l'espace 63 espace signe de multiplication espace numérateur racine carrée de 3 environ dénominateur 3 fin de fraction h espace égal à l'espace 21 racine carrée de 3 espace m h espace approximativement égal à l'espace 36 virgule 37 espace m$

Exercice 2

Sur une circonférence de diamètre 3, un segment AC, appelé corde, forme un angle de 90° avec une autre corde CB de même longueur. Quelle est la mesure des cordes ?

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Bonne réponse: La longueur de la corde est de 2,12 cm.

Comme les segments AC et CB forment un angle de 90° et sont de même longueur, le triangle formé est isocèle et les angles de base sont égaux.

Puisque la somme des angles internes d'un triangle est égale à 180° et que nous avons déjà un angle de 90°, il reste encore 90° à répartir également entre les deux angles de base. Ainsi, la valeur de ceux-ci est égale à 45º chacun.

Puisque le diamètre est égal à 3 cm, le rayon est de 1,5 cm et on peut utiliser le cosinus de 45° pour déterminer la longueur de la corde.

$espace cos 45 degrés signe espace égal à l'espace numérateur 1 virgule 5 au-dessus du dénominateur c o r d fin de fraction c o r d un espace égal à l'espace numérateur 1 virgule 5 au-dessus du dénominateur espace cos signe à 45 degrés fin de la fraction c ou d un espace égal à l'espace numérateur 1 virgule 5 au-dessus du dénominateur début du style afficher le numérateur racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de fraction fin de style fin de fraction c o r d un espace est égal à un espace 1 virgule 5 espace signe de multiplication espace numérateur 2 sur dénominateur racine carrée de 2 fin de fraction c ou d un espace approximativement égal 2 virgule 12 espace cm$

Exercice 3

Un cycliste participant à un championnat s'approche de la ligne d'arrivée en haut d'une pente. La longueur totale de cette dernière partie de l'essai est de 60 m et l'angle formé entre la rampe et l'horizontale est de 30°. Sachant cela, calculez la hauteur verticale que le cycliste doit gravir.

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Bonne réponse: La hauteur sera de 30 m.

En appelant la hauteur h, on a :

$s et n espace 30e espace égal à l'espace numérateur h espace sur dénominateur 60 fin de l'espace fraction h espace égal à l'espace 60 espace signe de espace de multiplication s et n espace de signe de 30 degrés espace h égal à l'espace 60 espace signe de multiplication espace 1 demi-h espace égal à l'espace 30 m espace$

Exercice 4

La figure suivante est formée de trois triangles dont la hauteur h détermine deux angles droits. Les valeurs des éléments sont :

α = 30°
β = 60°
h = 21

Trouvez la valeur de a+b.

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Bonne réponse:

Nous pouvons déterminer les mesures des segments a et b en utilisant les tangentes des angles donnés.

Calcul d'un :

$espace tan espace alpha égal à l'espace a sur l'espace h espace a espace égal à l'espace h espace signe de multiplication espace tan espace alpha espace espace a espace égal à l'espace 21 espace signe de multiplication espace numérateur racine carrée de 3 sur dénominateur 3 fin de fraction espace égal à 7 racine carrée de 3$

Calcul de b :

$espace tan espace bêta égal à l'espace numérateur b espace sur le dénominateur h espace fin de la fraction b espace égal à l'espace h espace signe de espace de multiplication espace tan espace beta b égal à l'espace 21 espace signe de multiplication racine carrée de 3 b espace égal à 21 racine carré de 3$

Ainsi,

un espace plus un espace b un espace est égal à un espace 28 racine carrée de 3

Exercice 5

Un avion a décollé de la ville A et a parcouru 50 km en ligne droite jusqu'à ce qu'il atterrisse dans la ville B. Ensuite, il a parcouru encore 40 km, cette fois en direction de la ville D. Ces deux voies forment un angle de 90° l'une par rapport à l'autre. Cependant, en raison de conditions météorologiques défavorables, le pilote a reçu une communication de la tour de contrôle l'informant qu'il ne pouvait pas atterrir dans la ville D et qu'il devait retourner dans la ville A.

Pour effectuer le demi-tour à partir du point C, le pilote devrait-il effectuer un virage de combien de degrés vers la droite ?

Considérer:

péché 51° = 0,77
cos 51° = 0,63
bronzage 51° = 1,25

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Bonne réponse: Le pilote doit effectuer un virage de 129° vers la droite.

En analysant la figure, nous voyons que le chemin forme un triangle rectangle.

Appelons l'angle que nous recherchons W. Les angles W et Z sont supplémentaires, c'est-à-dire qu'ils forment un angle faible de 180°.

Ainsi, W + Z = 180°.

L = 180 - Z (équation 1)

Notre tâche est maintenant de déterminer l'angle Z et, pour cela, nous allons utiliser sa tangente.

tan espace Z espace égal à l'espace 50 sur 40 tan espace Z espace égal à l'espace 1 virgule 25

Il faut se demander: quel est l'angle dont la tangente est 1,25 ?

Le problème nous donne cette donnée, tan 51° = 1,25.

Cette valeur peut également être trouvée dans un tableau trigonométrique ou avec une calculatrice scientifique, en utilisant la fonction :

bronzage à la puissance moins 1 extrémité de l'exponentielle

En remplaçant la valeur de Z dans l'équation 1, on a :

L = 180° - 51° = 129°

Exercice 6

Un rayon de lumière monochromatique en passant d'un milieu à un autre, subit une déviation vers lui. Ce changement dans sa propagation est lié aux indices de réfraction du milieu, comme le montre la relation suivante :

La loi de Snell - Descartes

s et n espace r espace x espace n avec 2 indice espace égal à l'espace s et n espace i espace x espace n avec 1 indice

Où i et r sont les angles d'incidence et de réfraction et, n1 et n2, les indices de réfraction des moyennes 1 et 2.

Lorsqu'il frappe la surface de séparation entre l'air et le verre, un rayon de lumière change de direction, comme le montre la figure. Quel est l'indice de réfraction du verre ?

Données: Indice de réfraction de l'air égal à 1.

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Bonne réponse: L'indice de réfraction du verre est égal à racine carrée de 3 .

Remplacement des valeurs que nous avons :

$s et n espace 30 degrés signe espace multiplication signe espace n avec vi i d r l'indice de fin d'indice espace égal à l'espace espace n avec un r indice fin d'indice indice espace signe de espace de multiplication s et n espace signe de 60 degrés espace n avec vi i d r l'indice de fin d'indice espace égal à numérateur espace n avec un r espace indice fin d'indice signe de espace de multiplication s e n espace signe de 60 degrés sur le dénominateur s e n espace signe de 30 degrés fin de la fraction n avec v i d r l'indice fin de l'indice espace égal à l'espace numérateur 1 espace signe de multiplication style de début afficher le numérateur racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin fraction style de fin sur le dénominateur style de début afficher 1 style de fin milieu fin de fraction n avec v i d r l'indice fin de l'espace indice égal à l'espace numérateur racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin de l'espace fraction signe de multiplication espace 2 sur 1 espace égal à espace racine carrée de 3$

Exercice 7

Pour traîner une bûche de bois dans son atelier, un serrurier a attaché une corde à la bûche et l'a tirée sur dix pieds sur une surface horizontale. Une force de 40 N à travers la corde faisait un angle de 45° avec la direction de déplacement. Calculer le travail de la force appliquée.

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Bonne réponse: Le travail effectué est d'environ 84,85 J.

Le travail est une quantité scalaire obtenue par le produit de la force et du déplacement. Si la force n'a pas la même direction que le déplacement, il faut décomposer cette force et ne considérer que la composante dans cette direction.

Dans ce cas, il faut multiplier la grandeur de la force par le cosinus de l'angle.

Donc nous avons:

$L'espace T est égal à l'espace F. espace d espace. espace cos espace 45 degrés signe T L'espace est égal à l'espace 40 espace. espace 3 espace. espace numérateur racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de la fraction T espace égal à l'espace 60 espace. 2 T racine carrée espace approximativement égal espace 84 virgule 85 J espace$

Exercice 8

Entre deux montagnes, les habitants de deux villages ont dû parcourir un chemin difficile de haut en bas. Pour résoudre la situation, il a été décidé qu'un pont à haubans serait construit entre les villages A et B.

Il faudrait calculer la distance entre les deux villages par la ligne droite sur laquelle s'étirerait le pont. Comme les habitants connaissaient déjà la hauteur des villes et les angles de montée, cette distance pouvait être calculée.

Sur la base du schéma ci-dessous et sachant que la hauteur des villes était de 100 m, calculez la longueur du pont.

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Bonne réponse: Le pont devrait avoir une longueur d'environ 157,73 m.

La longueur du pont est la somme des côtés adjacents aux angles donnés. En appelant la hauteur h, on a :

Calcul avec l'angle de 45°

$tan espace 45 degrés signe espace égal à l'espace numérateur h au-dessus du dénominateur c a t e t l'espace a d j a c e n t et fin de la fraction c a t e t l'espace a d j a c e n t e espace égal à l'espace numérateur h au-dessus du dénominateur tan espace 45 degrés signe fin de fraction c a t e t espace a d j a c e n t e égal espace un espace numérateur 100 sur le dénominateur début du style afficher 1 fin du style fin de la fraction c a t e t espace a d j a c e n t e espace égal à 100 espace m$

Calcul avec l'angle de 60°

$tan espace 60 degrés signe espace égal à l'espace numérateur h au-dessus du dénominateur c a t e t l'espace a d j a c e n t e fin de la fraction c a t e t l'espace a d j a c e n t e espace égal au numérateur de l'espace h au-dessus du dénominateur tan espace 60 degrés signe fin de la fraction c a t e t espace a d j a c e n t e espace égal à l'espace numérateur 100 sur dénominateur début style afficher la racine carrée de 3 fin du style fin de fraction espace c a t e t a d j a c e n t e espace approximativement égal espace 57 virgule 73 m espace$

Pour déterminer la longueur du pont, nous additionnons les valeurs obtenues.

c o m pr i m e n t l'espace est égal à l'espace 100 espace plus l'espace 57 virgule 73 espace approximativement égal à l'espace 157 virgule 73 espace m

question 1

Cefet - SP

Dans le triangle ABC ci-dessous, CF = 20 cm et BC = 60 cm. Marquez respectivement les mesures des segments AF et BE.

a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5

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Réponse: b) 10, 20

Pour déterminer la FA

On note que AC = AF + CF, il faut donc :

AF = CA - CF (équation 1)

CF est donné par le problème, étant égal à 20 cm.

AC peut être déterminé en utilisant un sinus de 30°.

$s et n espace 30 degrés signe espace égal à l'espace numérateur A C sur dénominateur B C fin de fraction espace A C espace égal à l'espace B C espace signe de multiplication espace s et n espace signe de 30 degrés espace$

BC est fourni par le problème, étant égal à 60 cm.

Un espace C est égal à l'espace 60 espace signe de multiplication l'espace 1 moitié est égal à l'espace 30 espace c m.

En remplaçant dans l'équation 1, on a :

Un espace F équivaut à un espace Un espace C moins un espace C F un espace espace Un espace F équivaut à un espace 30 un espace moins un espace 20 un espace équivaut à un espace 10 un espace c m

Pour déterminer BE

Premier constat :

Nous vérifions que la figure à l'intérieur du triangle est un rectangle, en raison des angles droits déterminés dans la figure.

Par conséquent, leurs côtés sont parallèles.

Deuxième constat :

Le segment BE forme un triangle rectangle d'angle de 30° où: la hauteur est égale à AF, que nous venons de déterminer, et BE est l'hypoténuse.

Faire le calcul :

Nous utilisons un sinus de 30° pour déterminer BE

$s et n espace 30 degrés signe espace égal à 10 espace numérateur sur dénominateur B E fin de l'espace fraction B espace E espace égal à 10 numérateur espace sur dénominateur s et n espace 30 signe degré fin de la fraction espace B E espace égal à l'espace numérateur 10 au-dessus du dénominateur début style afficher 1 milieu fin du style fin fraction B E espace égal à l'espace 20 espace c m$

question 2

EPCAR-MG

Un avion décolle du point B sous une inclinaison constante de 15° par rapport à l'horizontale. À 2 km de B se trouve la projection verticale C du point le plus élevé D d'une chaîne de montagnes de 600 m de haut, comme le montre la figure.

Données: cos 15° = 0,97; sin 15° = 0,26; tg 15° = 0,27

Il est juste de dire que :

a) L'avion n'entrera pas en collision avec la scie avant d'atteindre 540 m de hauteur.
b) Il y aura une collision entre l'avion et la scie à une hauteur de 540 m.
c) L'avion entrera en collision avec la scie en D.
d) Si l'avion décolle 220 m avant B, en conservant la même inclinaison, il n'y aura pas de collision de l'avion avec la scie.

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Réponse: b) Il y aura une collision entre l'avion et la scie à une hauteur de 540 m.

Tout d'abord, il est nécessaire d'utiliser le même multiple de l'unité de mesure de longueur. Par conséquent, nous irons de 2 km à 2000 m.

En suivant les mêmes conditions de vol initiales, on peut prédire la hauteur à laquelle l'avion sera dans la projection verticale du point C.

En utilisant la tangente à 15° et en définissant la hauteur comme h, nous avons :

$tan espace 15 degrés signe espace égal à espace numérateur h espace sur dénominateur 2000 fin de fraction espace h espace égal à espace 2000 espace signe de multiplication espace tan espace 15e espace espace h espace égal à l'espace 2000 espace signe de multiplication espace 0 virgule 27 espace espace espace h espace égal à l'espace 540 espace m$

question 3

ENEM 2018

Pour décorer un cylindre circulaire droit, on utilisera une bande rectangulaire de papier transparent, sur laquelle une diagonale qui fait 30° avec le bord inférieur est dessinée en gras. Le rayon de la base du cylindre mesure 6/π cm, et lors de l'enroulement de la bande, une ligne en forme d'hélice est obtenue, comme indiqué sur la figure.

La valeur de la mesure de la hauteur du cylindre, en centimètres, est :

a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72

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Réponse: b) 24√3

En observant la figure, nous remarquons que 6 tours ont été effectués autour du cylindre. Comme il s'agit d'un cylindre droit, n'importe où dans sa hauteur, nous aurons un cercle comme base.

Calculer la mesure de la base du triangle.

La longueur d'un cercle peut être obtenue à partir de la formule :

Où r est le rayon e, égal à typographique 6 sur pi droit ,on a:

2 espace. espace droit pi espace. espace 6 espace sur pi droit

Comment sont les 6 tours :

6 espace. espace 2 espace. espace droit pi espace. l'espace 6 sur l'espace pi droit est égal à l'espace 72

Nous pouvons utiliser le bronzage à 30° pour calculer la hauteur.

$tan espace 30 degrés signe espace égal à espace numérateur a l t u r a espace sur dénominateur b a s et fin de fraction espace espace a l t u r a espace égal à l'espace b a s et espace signe de multiplication espace tan espace signe 30 degrés espace a l t u r un espace égal à l'espace 72 espace signe de multiplication espace numérateur racine carrée de 3 sur le dénominateur 3 fin de fraction a l t u r un espace égal à l'espace 24 racine carrée de 3$

question 4

ENEM 2017

Les rayons du soleil atteignent la surface d'un lac à un angle X avec sa surface, comme le montre la figure.

Sous certaines conditions, on peut supposer que l'intensité lumineuse de ces rayons, à la surface du lac, est donnée approximativement par I(x) = k. sin (x), k étant une constante, et en supposant que X est compris entre 0° et 90°.

Lorsque x = 30º, l'intensité lumineuse est réduite à quel pourcentage de sa valeur maximale ?

A) 33%
B) 50 %
C) 57%
D) 70 %
E) 86%

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Réponse: B) 50 %

En remplaçant la valeur du sinus de 30° dans la fonction, on obtient :