Exercices de Radiation Commentés et Résolus

LES radiation est l'opération que nous utilisons pour trouver un nombre qui, multiplié par lui-même un certain nombre de fois, équivaut à une valeur connue.

Profitez des exercices résolus et commentés pour répondre à vos doutes sur cette opération mathématique.

question 1

Factoriser la racine de racine carrée de 144 et trouver le résultat racine.

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Bonne réponse: 12.

1ère étape: factoriser le nombre 144

tableau ligne avec cellule avec tableau ligne avec 144 ligne avec 72 ligne avec 36 ligne avec 18 ligne avec 9 ligne avec 3 ligne avec 1 fin de tableau fin de cellule fin de table dans le cadre droit ferme le cadre table rangée avec 2 rangées avec 2 rangées avec 2 rangées avec 3 rangées avec 3 rangées avec fin de blanc tableau

2ème étape: écrivez 144 sous forme de puissance

144 espace est égal à l'espace 2.2.2.2.3.3 espace est égal à l'espace 2 à la puissance 4,3 au carré

Notez que 2⁴ peut s'écrire 2².2², parce que 2²⁺²= 2⁴

Par conséquent, 144 espace équivaut à espace 2 au carré.2 au carré.3 au carré

3ème étape: remplacer le radicand 144 par la puissance trouvée

racine carrée de 144 espace égal à espace racine carrée de 2 au carré.2 au carré.3 au carré fin de la racine

Dans ce cas, nous avons une racine carrée, c'est-à-dire une racine d'indice 2. Par conséquent, comme l'une des propriétés de la radiation est droite n nième racine de droite x à la puissance n droite extrémité de la racine est droite x nous pouvons éliminer la racine et résoudre l'opération.

racine carrée de 144 est égale à la racine carrée de 2 au carré.2 au carré.3 au carré extrémité de la racine égale à 2,2.3 égale à 12

question 2

Quelle est la valeur de x sur l'égalité indice radical 16 de 2 à la puissance 8 de l'espace racine égale espace droit x racine nième de 2 à la puissance 4 de la racine ?

a) 4
b) 6
c) 8
d) 12

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Bonne réponse: c) 8.

En observant l'exposant des radicandes, 8 et 4, nous pouvons voir que 4 est la moitié de 8. Par conséquent, le nombre 2 est le diviseur commun entre eux et cela est utile pour connaître la valeur de x, car selon l'une des propriétés de la radiciation

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droite n nième racine de la droite x à la puissance de la droite m extrémité de la racine égale à l'indice des radicaux droite n divisée par la droite p de la droite x à la puissance de la droite m divisée par la droite p extrémité de l'extrémité exponentielle de la racine

En divisant l'indice du radical (16) et l'exposant du radicande (8), on trouve la valeur de x comme suit :

indice racine 16 de 2 à la puissance 8 extrémité de la racine égale à l'indice racine 16 divisé par 2 de 2 à la puissance de 8 divisé par 2 extrémité de l'exponentielle extrémité de la racine égale à l'indice radical 8 de 2 à la puissance 4 extrémité de la racine

Par conséquent, x = 16: 2 = 8.

question 3

simplifier le radical indice radical espace blanc de 2 au cube.5 à la puissance 4 extrémité de la racine .

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Bonne réponse: 50 indice radical blanc de 2 .

Pour simplifier l'expression, on peut supprimer de la racine les facteurs qui ont un exposant égal à l'indice du radical.

Pour cela, il faut réécrire le radicande pour que le nombre 2 apparaisse dans l'expression, puisque nous avons une racine carrée.

2 espace au cube égal à l'espace 2 à la puissance 2 plus 1 extrémité de l'exponentielle égale à l'espace 2 au carré. espace 2 5 à la puissance 4 espace égal à l'espace 5 à la puissance 2 plus 2 fin de l'espace exponentiel égal à 5 espace au carré. espace 5 au carré

En remplaçant les valeurs précédentes dans la racine, nous avons :

racine carrée de 2 au carré 2,5 au carré 5 au carré extrémité de la racine

Comme droite n nième racine de la droite x à la puissance n droite extrémité de l'espace racine égale à l'espace droite x , on simplifie l'expression.

racine carrée de 2 au carré 2,5 au carré 5 au carré extrémité de l'espace racine égale à l'espace 2.5.5 indice radical espace vide de 2 espace égal à l'espace 50 racine carrée de 2

question 4

Sachant que toutes les expressions sont définies dans l'ensemble des nombres réels, déterminez le résultat pour :

Le) 8 à puissance typographique 2 sur 3 fin d'exponentielle

B) racine carrée de la parenthèse gauche moins 4 parenthèse droite carré fin de la racine

ç) racine cubique moins 8 extrémité de la racine

ré) moins la racine quatrième de 81

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Bonne réponse:

Le) 8 à puissance typographique 2 sur 3 fin d'exponentielle peut être écrit comme racine cubique de 8 bout carré de racine

Sachant que 8 = 2.2.2 = 2³ nous avons remplacé la valeur de 8 dans la racine par la puissance 2³.

racine cubique de 8 carré extrémité de la racine espace est égal à l'espace parenthèse gauche racine cubique de 2 carré extrémité de la racine parenthèse droite espace au carré égal à l'espace 2 carré est égal à 4

B) racine carrée de la parenthèse gauche moins 4 parenthèse droite extrémité carrée de la racine espace est égale à l'espace 4

racine carrée de la parenthèse gauche moins 4 parenthèse droite le carré de la fin de l'espace racine est égal à l'espace racine carré de 16 espace est égal à l'espace 4 virgule car l'espace 4 carré l'espace est égal à l'espace 4,4 l'espace est égal espace 16

ç) racine cubique moins 8 la fin de l'espace racine est égale à l'espace moins 2

racine cubique moins 8 fin de l'espace racine est égal à l'espace moins 2 virgule car l'espace parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite à l'espace du cube est égal à l'espace de la parenthèse gauche moins 2 parenthèses droite. parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite. parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite l'espace est égal à l'espace moins 8

ré) moins la racine quatrième de l'espace 81 est égal à l'espace moins 3

moins la racine quatrième de 81 l'espace est égal à l'espace moins 3 l'espace virgule parce que l'espace 3 à la puissance 4 l'espace est égal à l'espace 3.3.3.3 l'espace est égal à l'espace 81

question 5

réécrire les radicaux racine carrée de 3 ; racine cubique de 5 et quatrième racine de 2 pour que tous les trois aient le même indice.

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Bonne réponse: indice radical 12 de 3 à la puissance 6 extrémité de la racine point virgule espace indice radical 12 de 5 à la puissance 4 extrémité de la racine espace droit et espace indice radical 12 de 2 à l'extrémité cubique de la racine .

Pour réécrire les radicaux avec le même indice, nous devons trouver le plus petit commun multiple entre eux.

table rangée avec 12 4 3 rangée avec 6 2 3 rangée avec 3 1 3 rangée avec 1 1 1 extrémité de la table dans le cadre droit ferme le cadre table rangée avec 2 rangées avec 2 rangées avec 3 rangées avec extrémité vierge de la table

MMC = 2.2.3 = 12

Par conséquent, l'indice des radicaux doit être 12.

Cependant, pour modifier les radicaux, nous devons suivre la propriété droite n nième racine de droite x à la puissance m droite extrémité de la racine égale à l'indice radical droit n. droite p de droite x à la puissance droite m. droite p fin de la fin exponentielle de la racine .

Pour changer l'indice radical racine carrée de 3 nous devons utiliser p = 6, puisque 6. 2 = 12

indice radical 2,6 de 3 à la puissance 1,6 extrémité de l'exponentiel extrémité de l'espace racine égal à l'espace indice radical 12 de 3 à la puissance 6 extrémité de la racine

Pour changer l'indice radical racine cubique de 5 nous devons utiliser p = 4, puisque 4. 3 = 12

indice radical 3,4 de 5 à la puissance 1,4 m de l'extrémité exponentielle de la racine égal à l'indice radical 12 de 5 à la puissance 4 m de la racine

Pour changer l'indice radical quatrième racine de 2 nous devons utiliser p = 3, puisque 3. 4 = 12

indice radical 4,3 de 2 à la puissance 1,3 extrémité de l'exponentielle extrémité de la racine égale à l'indice radical 12 de 3

question 6

Quel est le résultat de l'expression 8 racine carrée de droite vers espace – espace 9 racine carrée de droite vers espace plus espace 10 racine carrée de droite vers ?

Le) index radical directement à l'espace blanc
B) 8 index radicaux vierges directement à
ç) 10 indice radical vierge directement à
ré) 9 index radicaux vierges directement à

Voir la réponse

Bonne réponse: d) 9 index radicaux vierges directement à .

Pour la propriété des radicaux droit une racine carrée de l'espace x droit plus l'espace droit b racine carrée de l'espace x droit moins l'espace droit c racine carrée de droite x espace égal à l'espace parenthèse gauche droite a plus droite b moins droite c parenthèse droite racine carrée de droite X , on peut résoudre l'expression comme suit :

8 racine carrée de droite à espace – espace 9 racine carrée de droite à espace plus espace 10 racine carrée de droite à espace égale à espace parenthèse gauche 8 moins 9 plus 10 parenthèse droite racine carrée de droite à espace égal à l'espace 9 racine carrée de droite le

question 7

Rationaliser le dénominateur de l'expression $numérateur 5 sur le dénominateur indice radical 7 de a à cube fin de racine fin de fraction$ .

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Bonne réponse: $numérateur 5 indice radical 7 du droit a à la puissance 4 fin de la racine sur le droit dénominateur de la fin de la fraction$ .

Pour retirer le radical du dénominateur quotient, il faut multiplier les deux termes de la fraction par un facteur de rationalisation, qui se calcule en soustrayant l'indice du radical par l'exposant du radicande: droite n nième racine de x droit à la puissance m droite extrémité de l'espace racine égale espace droit n nième racine de x droite à la puissance n droite moins m droite extrémité de l'extrémité exponentielle de la racine .

Par conséquent, pour rationaliser le dénominateur indice radical 7 de l'extrémité droite à l'extrémité cubique de la racine la première étape consiste à calculer le facteur.

l'indice radical 7 du a rectiligne jusqu'au bout du cube de la racine est égal à l'indice radical 7 du a rectiligne à la puissance 7 moins 3 fin de l'exponentiel fin de l'espace racine égal à l'espace indice radical 7 de la droite a à la puissance 4 fin de la source

Maintenant, nous multiplions les termes du quotient par le facteur et résolvons l'expression.

$numérateur 5 au-dessus du dénominateur indice radical 7 de l'extrémité droite à l'extrémité cubique de la racine de la fraction. indice radical numérateur 7 du a droit à la puissance 4 extrémités de la racine sur le radical dénominateur indice 7 du a droit à la puissance 4 extrémités de la racine extrémité de fraction égale au numérateur 5 indice radical 7 du a droit à la puissance 4 extrémité de la racine sur le dénominateur indice radical 7 du a droit à l'extrémité du cube la source. indice 7 du droit a à la puissance 4 extrémité de la racine extrémité de la fraction égale au numérateur 5 indice radical 7 du a droit à la puissance 4 fin de la racine sur le dénominateur indice 7 du droit a au cube. droite a à la puissance 4 de la racine extrémité de la fraction égale au numérateur 5 indice radical 7 de la droite a à la 4e puissance de la racine sur le dénominateur indice radical 7 de la droite a à la puissance 3 plus 4 fin de l'exponentielle fin de la racine fin de la fraction égale au numérateur 5 indice radical 7 du a droit à la puissance 4 fin de la racine sur l'indice du dénominateur radical 7 du droit a à la puissance 7 fin de la racine fin de la fraction égale au numérateur 5 radical indice 7 du droit a à la puissance 4 fin de la racine sur dénominateur droit à la fin de fraction$

Par conséquent, rationaliser l'expression $numérateur 5 sur le dénominateur indice radical 7 de a à cube fin de racine fin de fraction$ nous avons comme résultat $numérateur 5 indice radical 7 du droit a à la puissance 4 fin de la racine sur le droit dénominateur de la fin de la fraction$ .

Commenté et résolu les questions de l'examen d'entrée à l'université

question 8

(IFSC - 2018) Examinez les déclarations suivantes :

JE. moins 5 à la puissance 2 de l'espace fin de l'exponentielle moins la racine carrée de l'espace de 16. espace parenthèse gauche moins 10 parenthèse droite espace divisé par l'espace parenthèse gauche racine carrée de 5 parenthèse droite espace carré est égal à l'espace moins 17

II. 35 espace divisé par l'espace parenthèse gauche 3 espace plus espace racine carrée de 81 espace moins 23 espace plus espace 1 parenthèse droite espace signe de multiplication espace 2 espace équivaut à espace 10

III. s'effectuant lui-même parenthèse gauche 3 espace plus espace racine carrée de 5 parenthèse droite parenthèse gauche 3 espace moins espace racine carrée de 5 parenthèse droite , vous obtenez un multiple de 2.

Vérifiez l'alternative correcte.

a) Tout est vrai.
b) Seuls I et III sont vrais.
c) Tous sont faux.
d) Une seule des affirmations est vraie.
e) Seuls II et III sont vrais.

Voir la réponse

Alternative correcte: b) Seuls I et III sont vrais.

Résolvons chacune des expressions pour voir lesquelles sont vraies.

JE. Nous avons une expression numérique impliquant plusieurs opérations. Dans ce type d'expression, il est important de se rappeler qu'il y a une priorité pour effectuer les calculs.

Il faut donc commencer par l'enracinement et la potentialisation, puis la multiplication et la division, et enfin l'addition et la soustraction.

Une autre observation importante concerne - 5². S'il y avait des parenthèses, le résultat serait +25, mais sans les parenthèses, le signe moins est l'expression et non le nombre.

moins 5 au carré moins racine carrée de 16. parenthèses ouvertes moins 10 parenthèses fermées divisées par des parenthèses ouvertes racine carrée de 5 parenthèses carrées fermées égale à moins 25 moins 4. parenthèse gauche moins 10 parenthèse droite divisée par 5 égale moins 25 plus 40 divisée par 5 égale moins 25 plus 8 égale moins 17

L'affirmation est donc vraie.

II. Pour résoudre cette expression, nous considérerons les mêmes remarques faites dans l'élément précédent, en ajoutant que nous résolvons d'abord les opérations entre parenthèses.

35 divisé par des parenthèses ouvertes 3 plus racine carrée de 81 moins 2 au cube plus 1 parenthèse fermée signe de multiplication 2 est égal à 35 divisé par parenthèse ouverte 3 plus 9 moins 8 plus 1 parenthèse fermée x 2 égal à 35 divisé par 5 signe de multiplication 2 égal à 7 signe de multiplication 2 égal à 14

Dans ce cas, la déclaration est fausse.

III. Nous pouvons résoudre l'expression en utilisant la propriété distributive de la multiplication ou le produit remarquable de la somme par la différence de deux termes.

Donc nous avons:

ouvre les parenthèses 3 plus la racine carrée de 5 ferme les parenthèses. parenthèses ouvertes 3 moins racine carrée de 5 parenthèses fermées 3 carré moins parenthèses ouvertes racine carrée de 5 parenthèses fermées carré 9 moins 5 égale 4

Puisque le nombre 4 est un multiple de 2, cette affirmation est également vraie.

question 9

(CEFET/MG - 2018) Si x droit plus y droit plus z droit est égal à la quatrième racine de 9 espace droit et espace droit x plus y droit moins z droit est égal à la racine carrée de 3 , alors la valeur de l'expression x² + 2xy +y² – z² é

Le) 3 racine carrée de 3
B)
c) 3
d) 0

Voir la réponse

Alternative correcte: c) 3.

Commençons la question en simplifiant la racine de la première équation. Pour cela, on passera le 9 à la forme puissance et on divisera l'index et la racine racine par 2 :

racine quatrième de 9 égale à l'indice radical 4 divisé par 2 de 3 à la puissance 2 divisée par 2 fin d'exponentielle fin de racine égale à racine carrée de 3

En considérant les équations, on a :

droite x plus droite y plus droite z est égale à la racine carrée de 3 double flèche vers la droite droite x plus droite y est égale à la racine carrée de 3 moins droite z droit x plus droit y moins droit z est égal à la racine carrée de 3 double flèche vers la droite droit x plus droit y est égal à la racine carrée de 3 plus droit z

Puisque les deux expressions, avant le signe égal, sont égales, nous concluons que :

racine carrée de 3 moins z droit est égale à la racine carrée de 3 plus z droit

En résolvant cette équation, nous trouverons la valeur de z :

z droit plus z droit est égal à la racine carrée de 3 moins racine carrée de 3 2 z droit est égal à 0 z droit est égal à 0

Remplacement de cette valeur dans la première équation :

x droit plus y droit plus 0 est égal à la racine carrée de 3 x droit plus y droit est égal à la racine carrée de 3

Avant de remplacer ces valeurs dans l'expression proposée, simplifions-la. Noter que:

X²+ 2xy + y²= (x + y)²

Donc nous avons:

parenthèse gauche x plus y parenthèse droite au carré moins z au carré égale parenthèse gauche racine carrée de 3 parenthèse droite au carré moins 0 égale 3

question 10

(Apprenti marin - 2018) Si A est égal à la racine carrée de la racine carrée de 6 moins 2 extrémité de la racine. racine carrée de 2 plus racine carrée de 6 fin de racine , donc la valeur de A² é:

à 1
b) 2
c) 6
d) 36

Voir la réponse

Alternative correcte: b) 2

Comme l'opération entre les deux racines est la multiplication, on peut écrire l'expression en un seul radical, c'est-à-dire :

A est égal à la racine carrée de la parenthèse gauche à la racine carrée de 6 moins 2 parenthèses droites. parenthèses ouvertes 2 plus racine carrée de 6 parenthèses fermées fin de racine

Maintenant, cadrons A :

Un carré égal à la racine carrée des parenthèses ouvertes de la racine carrée des parenthèses ouvertes de 6 moins 2 ferme les parenthèses. parenthèses ouvertes 2 plus la racine carrée de 6 parenthèses fermées fin de la racine ferme les parenthèses carrées

Puisque l'indice de la racine est 2 (racine carrée) et qu'il est au carré, nous pouvons supprimer la racine. Ainsi:

Un carré égal à la racine carrée ouverte des parenthèses de 6 moins 2 ferme les parenthèses. parenthèses ouvertes 2 plus racine carrée de 6 parenthèses fermées

Pour multiplier, nous utiliserons la propriété distributive de la multiplication :

Un carré est égal à 2 racine carrée de 6 plus racine carrée de 6,6 extrémité de la racine moins 4 moins 2 racine carrée de 6 Un carré équivaut à barrer en diagonale pour au-dessus de 2 racine carrée de 6 bout barré plus 6 moins 4 barré en diagonale au-dessus de moins 2 racine carrée de 6 bout barré A au carré égal à 2

question 11

(Apprenti Marin - 2017) Sachant que la fraction j'ai environ 4 est proportionnel à la fraction $numérateur 3 sur dénominateur 6 moins 2 racine carrée de 3 fin de fraction$ , il est correct de dire que y est égal à :

a) 1 - 2 racine carrée de 3
b) 6 + 3
c) 2 -
d) 4 + 3
e) 3 +

Voir la réponse

Alternative correcte: e) y est égal à 3 plus la racine carrée de 3

Comme les fractions sont proportionnelles, on a l'égalité suivante :

$y sur 4 est égal au numérateur 3 sur le dénominateur 6 moins 2 racine carrée de 3 fin de fraction$

En passant le 4 de l'autre côté et en multipliant, on trouve :

$y est égal au numérateur 4.3 au-dessus du dénominateur 6 moins 2 racine carrée de 3 fin de fraction y est égal au numérateur 12 au-dessus du dénominateur 6 moins 2 racine carrée de 3 fin de fraction$

En simplifiant tous les termes par 2, on a :

$y est égal au numérateur 6 sur le dénominateur 3 moins la racine carrée de 3 fin de fraction$

Maintenant, rationalisons le dénominateur, en multipliant vers le haut et vers le bas par le conjugué de parenthèses ouvertes 3 moins racine carrée de 3 parenthèses fermées :

$y est égal au numérateur 6 sur le dénominateur ouvre les parenthèses 3 moins la racine carrée de 3 ferme les parenthèses à la fin de la fraction. le numérateur ouvre les parenthèses 3 plus la racine carrée de 3 ferme les parenthèses sur le dénominateur ouvre les parenthèses 3 plus la racine carrée de 3 ferme les parenthèses fin de fraction$

$y est égal au numérateur 6 ouvre les parenthèses 3 plus la racine carrée de 3 ferme la parenthèse sur le dénominateur 9 plus 3 racine carrée de 3 moins 3 racine carrée de 3 moins 3 fin de fraction y est égal à numérateur diagonal haut risque 6 parenthèses ouvertes 3 plus racine carrée de 3 parenthèse fermée sur dénominateur diagonal risque haut 6 fin de fraction y égale à 3 plus racine carrée de 3$

question 12

(CEFET/RJ - 2015) Soit m la moyenne arithmétique des nombres 1, 2, 3, 4 et 5. Quelle option se rapproche le plus du résultat de l'expression ci-dessous ?

$racine carrée du numérateur ouvre la parenthèse 1 moins m ferme la parenthèse carrée plus la parenthèse ouverte 2 moins m ferme la parenthèse carrée plus la parenthèse ouverte 3 moins m ferme parenthèses carrées plus parenthèses ouvertes 4 moins m ferme les parenthèses carrées plus parenthèses ouvertes 5 moins m ferme les parenthèses carrées sur le dénominateur 5 fin de fraction fin de la source$

a) 1.1
b) 1.2
c) 1.3
d) 1.4

Voir la réponse

Alternative correcte: d) 1.4

Pour commencer, nous allons calculer la moyenne arithmétique entre les nombres indiqués :

$m égal au numérateur 1 plus 2 plus 3 plus 4 plus 5 au-dessus du dénominateur 5 fin de fraction égale à 15 sur 5 égal à 3$

En remplaçant cette valeur et en résolvant les opérations, on trouve :

$racine carrée du numérateur ouvre les parenthèses 1 moins 3 ferme la parenthèse carrée plus la parenthèse ouverte 2 moins 3 ferme la parenthèse carrée plus la parenthèse ouverte 3 moins 3 ferme parenthèses carrées plus parenthèses ouvertes 4 moins 3 ferme les parenthèses carrées plus parenthèses ouvertes 5 moins 3 ferme les parenthèses carrées sur le dénominateur 5 fin de fraction fin de racine double flèche droite racine carrée du numérateur ouvrir les parenthèses moins 2 fermer le carré de la parenthèse plus ouvrir la parenthèse moins 1 fermer le carré de la parenthèse plus 0 carré plus les parenthèses ouvertes plus 1 ferme la parenthèse carrée plus la parenthèse ouverte plus 2 ferme la parenthèse carrée sur le dénominateur 5 fin de fraction fin de racine double flèche vers la racine droite numérateur carré 4 plus 1 plus 1 plus 4 au-dessus du dénominateur 5 fin de fraction fin de racine égal à racine carrée de 10 plus de 5 fin de racine égal à racine carrée de 2 approximativement égal 1 virgule 4$

question 13

(IFCE - 2017) Approximation des valeurs de espace racine carrée de 5 et espace racine carrée de 3 à la deuxième décimale, nous obtenons respectivement 2,23 et 1,73. Approche de la valeur de $numérateur 1 sur dénominateur racine carrée de 5 plus racine carrée de 3 fin de fraction$ à la deuxième décimale, on obtient

a) 1,98.
b) 0,96.
c) 3,96.
d) 0,48.
e) 0,25.

Voir la réponse

Alternative correcte: e) 0,25

Pour trouver la valeur de l'expression, nous allons rationaliser le dénominateur en multipliant par le conjugué. Ainsi:

$numérateur 1 sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 5 plus racine carrée de 3 parenthèse droite fin de fraction. numérateur parenthèse gauche racine carrée de 5 moins racine carrée de 3 parenthèse droite sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 5 moins racine carrée de 3 parenthèse droite fin de fraction$

Résoudre la multiplication :

$racine carrée du numérateur de 5 moins racine carrée de 3 sur le dénominateur 5 moins 3 la fin de la fraction est égale à la racine carrée du numérateur de 5 style de début afficher moins la fin du style style de début afficher la racine carrée de 3 fin du style sur le dénominateur 2 fin de fraction$

En remplaçant les valeurs racines par les valeurs renseignées dans l'énoncé du problème, on a :

$numérateur 2 virgule 23 moins 1 virgule 73 au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction égale au numérateur 0 virgule 5 au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction égale à 0 virgule 25$

question 14

(CEFET/RJ - 2014) Par quel nombre doit-on multiplier le nombre 0,75 pour que la racine carrée du produit obtenu soit égale à 45 ?

a) 2700
b) 2800
c) 2900
d) 3000

Voir la réponse

Alternative correcte: a) 2700

Tout d'abord, écrivons 0,75 comme fraction irréductible :

0 virgule 75 équivaut à 75 sur 100 équivaut à 3 sur 4

Nous appellerons le nombre que nous recherchons x et écrirons l'équation suivante :

racine carrée de 3 sur 4. x fin de la racine est égal à 45

En mettant au carré les deux membres de l'équation, on a :

$ouvre des crochets de racine carrée de 3 sur 4. x la fin de la racine ferme des parenthèses carrées égales à 45 carré 3 sur 4. x égal à 2025 x égal au numérateur 2025,4 au-dessus du dénominateur 3 fin de fraction x égal à 8100 sur 3 égal à 2700$

question 15

(EPCAR - 2015) La valeur somme $S est égal à la racine carrée de 4 plus le numérateur 1 sur la racine carrée du dénominateur de 2 plus 1 fin de fraction plus le numérateur 1 sur la racine du dénominateur carré de 3 plus racine carrée de 2 extrémités de fraction plus numérateur 1 sur dénominateur racine carrée de 4 plus racine carrée de 3 extrémités de fraction Suite... plus numérateur 1 sur dénominateur racine carrée de 196 plus racine carrée de 195 fin de fraction$ est un nombre

a) naturel moins de 10
b) naturel supérieur à 10
c) rationnel non entier
d) irrationnel.

Voir la réponse

Alternative correcte: b) naturel supérieur à 10.

Commençons par rationaliser chaque portion de la somme. Pour cela, on multipliera le numérateur et le dénominateur des fractions par le conjugué du dénominateur, comme indiqué ci-dessous :

$start style math size 12px S est égal à la racine carrée de 4 plus le numérateur 1 sur le dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 2 plus 1 parenthèse droite fin de fraction. numérateur parenthèse gauche racine carrée de 2 moins 1 parenthèse droite sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 2 moins 1 parenthèse extrémité droite de la fraction plus le numérateur 1 sur le dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 3 plus racine carrée de 2 parenthèse droite fin de fraction. numérateur parenthèse gauche racine carrée de 3 moins racine carrée de 2 parenthèse droite sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 3 moins racine carré de 2 parenthèse droite fin de fraction plus numérateur 1 sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 4 plus racine carrée de 3 fin parenthèse droite de la fraction. numérateur parenthèse gauche racine carrée de 4 moins racine carrée de 3 parenthèse droite sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 4 moins racine carrée de 3 parenthèse droite fin de fraction plus... plus numérateur 1 sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 196 plus racine carrée de 195 parenthèse droite fin de fraction. numérateur parenthèse gauche racine carrée de 196 moins racine carrée de 195 parenthèse droite sur dénominateur parenthèse gauche racine carrée de 196 moins racine carrée de 195 parenthèse droite fin de fraction fin de style$

Pour effectuer la multiplication des dénominateurs, on peut appliquer le produit remarquable de la somme par la différence de deux termes.

$S est égal à 2 plus la racine carrée du numérateur de 2 moins 1 sur le dénominateur 2 moins 1 fin de fraction plus la racine carrée du numérateur de 3 moins la racine carrée de 2 sur le dénominateur 3 moins 2 fin de fraction plus numérateur racine carrée de 4 moins racine carrée de 3 sur dénominateur 4 moins 3 fin de fraction Suite... plus la racine carrée du numérateur de 196 moins la racine carrée de 195 au-dessus du dénominateur 196 moins 195 la fin de la fraction S est égal à 2 plus une barre oblique vers le haut sur la racine carrée de 2 pouces du retrait moins 1 autre retrait en diagonale vers le haut au-dessus de la racine carrée du 3 extrémité du retrait moins du retrait en diagonale vers le haut au-dessus de la racine carrée de 2 fin du retrait plus retrait diagonale vers le haut au-dessus du barré diagonale au-dessus de la racine carrée de 4 extrémité du barré fin du barré moins barré diagonale au-dessus de la racine carrée du 3 extrémité du barré Suite... plus racine carrée de 196 moins barré en diagonale vers le haut au-dessus de la racine carrée de 195 fin barré$