Exercices sur les ensembles numériques

Toi ensembles numériques comprennent les ensembles suivants: Naturels (ℕ), Entiers (ℤ), Rationnels (ℚ), Irrationnels (I), Réels (ℝ) et Complexes (ℂ).

Profitez des exercices commentés pour vérifier vos connaissances sur ce sujet important des mathématiques.

question 1

Quelle proposition ci-dessous est vraie ?

a) Tout nombre entier est rationnel et tout nombre réel est un entier.
b) L'intersection de l'ensemble des nombres rationnels avec l'ensemble des nombres irrationnels a 1 élément.
c) Le nombre 1.83333... est un nombre rationnel.
d) La division de deux nombres entiers est toujours un nombre entier.

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Alternative correcte: c) Le nombre 1.83333... est un nombre rationnel.

Regardons chacun des énoncés :

a) Faux. En fait, tout nombre entier est rationnel, car il peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Par exemple, le nombre -7, qui est un entier, peut être écrit sous forme de fraction -7/1. Cependant, tous les nombres réels ne sont pas des entiers, par exemple 1/2 n'est pas un entier.

b) Faux. L'ensemble des nombres rationnels n'a aucun nombre en commun avec les nombres irrationnels, car un nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel. Par conséquent, l'intersection est un ensemble vide.

c) Vrai. Le nombre 1.83333... c'est une dîme périodique car le chiffre 3 se répète à l'infini. Ce nombre peut être écrit sous forme de fraction comme 11/6, c'est donc un nombre rationnel.

d) Faux. Par exemple, 7 divisé par 3 est égal à 2,33333..., qui est un nombre décimal périodique, ce n'est donc pas un entier.

question 2

La valeur de l'expression ci-dessous, lorsque a = 6 et b = 9, est :

a) un nombre naturel impair
b) un nombre qui appartient à l'ensemble des nombres irrationnels
c) n'est pas un nombre réel
d) un entier dont le module est supérieur à 2

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Alternative correcte: d) un entier dont le module est supérieur à 2.

Remplaçons d'abord les lettres par les valeurs indiquées et résolvons l'expression :

Notez que (-6)² est différent de - 6², la première opération peut être faite comme: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Sans les parenthèses, seul 6 est au carré, soit - 6² = - (6.6) = -36.

En continuant la résolution, nous avons :

Notez que puisque l'indice de la racine est un nombre impair (racine cubique), il existe une racine numérique négative dans l'ensemble des nombres réels. Si l'index racine était un nombre pair, le résultat serait un nombre complexe.

Analysons maintenant chacune des options présentées :

L'option le est faux car la réponse est un nombre négatif qui ne fait pas partie de l'ensemble des nombres naturels.

Le nombre - 3 n'est pas un nombre décimal infini non périodique, par conséquent, ce n'est pas un irrationnel, d'où la lettre B ce n'est pas non plus la bonne solution.

La lettre ç est également faux, puisque le nombre - 3 est un nombre appartenant à l'ensemble des nombres réels.

L'option correcte ne peut être que la lettre ré et en fait le résultat de l'expression est un entier et le modulo de -3 est 3 qui est supérieur à 2.

question 3

Dans les ensembles (A et B) du tableau ci-dessous, quelle alternative représente une relation d'inclusion ?

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Alternative correcte: a)

L'alternative "a" est la seule dans laquelle un ensemble est inclus dans un autre. L'ensemble A comprend l'ensemble B ou l'ensemble B est inclus dans A.

Alors quelles affirmations sont correctes ?

I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B A

a) I et II.
b) I et III.
c) I et IV.
d) II et III.
e) II et IV

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Alternative correcte: d) II et III.

I - Faux - A n'est pas contenu dans B (A B).
II - Correct - B est contenu dans A (B C A).
III - Correct - A contient B (B A).
IV - Faux - B ne contient pas A (B A).

question 4

Nous avons l'ensemble A = {1, 2, 4, 8 et 16} et l'ensemble B = {2, 4, 6, 8 et 10}. Selon les variantes, où sont situés les éléments 2, 4 et 8 ?

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Alternative correcte: c).

Les éléments 2, 4 et 8 sont communs aux deux ensembles. Par conséquent, ils sont situés dans le sous-ensemble A ∩ B (A intersection avec B).

question 5

Étant donné les ensembles A, B et C, quelle image représente A U (B C) ?

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Alternative correcte: d)

La seule alternative qui satisfasse la condition initiale de B C (à cause des parenthèses) et, plus tard, l'union avec A.

question 6

Une enquête a été réalisée pour connaître les habitudes d'achat des consommateurs par rapport à trois produits. La recherche a obtenu les résultats suivants :

• 40% achètent le produit A.
• 25% achètent le produit B.
• 33% achètent le produit C.
• 20% achètent les produits A et B.
• 5% achètent les produits B et C.
• 19% achètent les produits A et C.
• 2% achètent les trois produits.

Sur la base de ces résultats, répondez :

a) Quel pourcentage de répondants n'achète aucun de ces produits ?
b) Quel pourcentage de répondants achètent les produits A et B et n'achètent pas le produit C ?
c) Quel pourcentage de répondants achètent au moins un des produits ?

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Réponses:
a) 44% des répondants ne consomment aucun des trois produits.
b) 18% des personnes qui consomment les deux produits (A et B) ne consomment pas le produit C.
c) 56% des répondants consomment au moins un des produits.

Pour résoudre ce problème, faisons un schéma pour mieux visualiser la situation.

Il faut toujours commencer à l'intersection des trois ensembles. Ensuite, nous inclurons la valeur de l'intersection de deux ensembles, et enfin, le pourcentage de personnes qui n'achètent qu'une seule marque de produit.

On remarque que le pourcentage de personnes qui consomment deux produits comprend également le pourcentage de personnes qui consomment les trois produits.

Par conséquent, dans le diagramme, nous indiquons le pourcentage de ceux qui consomment seul deux produits. Pour ce faire, il faut soustraire le pourcentage de ceux qui consomment les trois produits de ceux qui en consomment deux.

Par exemple, le pourcentage indiqué qui consomme le produit A et le produit B est de 20 %, mais cette valeur comprend les 2 % liés à qui consomme les trois produits.

En soustrayant ces valeurs, soit 20% - 2% = 18%, on trouve le pourcentage de consommateurs qui achètent uniquement les produits A et B.

Compte tenu de ces calculs, le schéma de la situation décrite sera comme indiqué dans la figure ci-dessous :

Sur la base de ce schéma, nous pouvons maintenant répondre aux questions proposées.

Le) Le pourcentage de ceux qui n'achètent aucun produit est égal à l'ensemble, c'est-à-dire 100 % sauf qu'ils consomment n'importe quel produit. Il faut donc faire le calcul suivant :

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Bientôt, 44% des répondants ne consomment aucun des trois produits.

B) Le pourcentage de consommateurs qui achètent les produits A et B et n'achètent pas le produit C est obtenu en soustrayant :

20 - 2 = 18%

Par conséquent, 18% des personnes qui consomment les deux produits (A et B) ne consomment pas le produit C.

ç) Pour trouver le pourcentage de personnes qui consomment au moins un des produits, il suffit d'additionner toutes les valeurs du diagramme. Donc nous avons:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Ainsi, 56% des répondants consomment au moins un des produits.

question 7

(Enem/2004) Un fabricant de cosmétiques décide de produire trois catalogues différents de ses produits, ciblant des publics différents. Comme certains produits seront présents dans plus d'un catalogue et occuperont une page entière, il décide de faire un décompte pour réduire les dépenses avec les originaux imprimés. Les catalogues C1, C2 et C3 auront respectivement 50, 45 et 40 pages. En comparant les dessins de chaque catalogue, il constate que C1 et C2 auront 10 pages en commun; C1 et C3 auront 6 pages en commun; C2 et C3 auront 5 pages en commun, dont 4 seront également sur C1. En effectuant les calculs correspondants, le fabricant a conclu que, pour l'assemblage des trois catalogues, il aura besoin d'un total d'originaux imprimés égal à :

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

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Alternative correcte: c) 118

Nous pouvons résoudre cette question en construisant un diagramme. Pour cela, commençons par les pages communes aux trois catalogues, soit 4 pages.

À partir de là, nous indiquerons les valeurs, en soustrayant celles qui ont déjà été comptabilisées. Ainsi, le schéma sera comme indiqué ci-dessous :

Les valeurs ont été trouvées en effectuant les calculs suivants :

• Intersection C1, C2 et C3: 4
• Intersection C2, C3: 5 - 4 = 1
• Intersection C1 et C3: 6 - 4 = 2
• Intersection C1 et C2: 10 - 4 = 6
• Uniquement C1: 50 - 12 = 38
• C2 seulement: 45 - 11 = 34
• C3 seulement: 40 - 7 = 33

Pour trouver le nombre de pages, il suffit d'ajouter toutes ces valeurs, c'est à dire :

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

question 8

(Enem/2017) Dans ce modèle de thermomètre, les filets enregistrent les températures minimales et maximales de la veille et les filets gris enregistrent la température ambiante actuelle, c'est-à-dire au moment de la lecture de la thermomètre.

Il a donc deux colonnes. A gauche, les chiffres sont dans l'ordre croissant, de haut en bas, de -30 °C à 50 °C. Dans la colonne de droite, les chiffres sont classés par ordre croissant, de bas en haut, de -30°C à 50°C.

La lecture se fait de la manière suivante :

• la température minimale est indiquée par le niveau inférieur du filet noir dans la colonne de gauche.
• la température maximale est indiquée par le niveau inférieur du filet noir dans la colonne de droite.
• la température actuelle est indiquée par le niveau supérieur dans les filets gris dans les deux colonnes.

Quelle est la température maximale la plus proche enregistrée sur ce thermomètre ?

a) 5 °C
b) 7°C
c) 13°C
d) 15°C
e) 19°C

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Alternative correcte: e) 19°C

Pour résoudre le problème, il suffit de lire l'échelle dans la colonne de droite du filet noir, qui représente l'enregistrement de température maximale.

question 9

(Enem /2017) Le résultat d'un sondage électoral, sur la préférence des électeurs par rapport à deux candidats, a été représenté au moyen du graphique 1.

Lorsque ce résultat a été publié dans un journal, le graphique 1 a été coupé lors de la mise en page, comme le montre le graphique 2.

Bien que les valeurs présentées soient correctes et que la largeur des colonnes soit la même, de nombreux lecteurs a critiqué le format du graphique 2 imprimé dans le journal, affirmant qu'il y avait eu des dommages visuels au candidat B. La différence entre les rapports de hauteur de la colonne B à la colonne A dans les graphiques 1 et 2 est :

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 15/2
e) 8/35

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Alternative correcte: e) 8/35

Pour résoudre le problème, nous devons d'abord trouver le rapport de la hauteur de la colonne B à la colonne A dans les deux graphiques. Ces ratios sont trouvés en comptant le nombre de divisions dans chaque colonne.

Notez que dans le graphique 1, la colonne A est divisée en 7 « pièces » égales, tandis que la colonne B en 3. Dans le graphique 2, la colonne A est divisée en 5 « pièces » égales et la colonne B en seulement 1.

Par conséquent, les fractions qui représentent les rapports de la hauteur de la colonne B à la colonne A peuvent être indiquées par

Maintenant, résolvez simplement la soustraction entre ces deux fractions, nous avons donc :

question 10

(Enem/2018) Pour créer un logo, un professionnel dans le domaine du design graphique veut le construire en utilisant l'ensemble de points plans en forme de triangle, exactement comme le montre l'image.

Pour construire une telle image à l'aide d'un outil graphique, il faudra écrire algébriquement l'ensemble qui représente les points de ce graphique.

Cet ensemble est donné par les paires ordonnées (x; y) ℕ X ℕ, tel que
a) 0. x ≤ y 10
b) 0 y x ≤ 10
c) 0 x ≤ 10, 0 y ≤ 10
d) 0 x + y ≤ 10
e) 0 x + y ≤ 20

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Alternative correcte: b) 0 y ≤ x ≤ 10

Notez que le chiffre exprimé dans la question, à la fois sur les axes y et x, comprend les nombres naturels (ℕ X ℕ) entre 0 et 10. Nous devons: 0 y ≤ 10 et 0 x ≤ 10.

Ainsi: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) et x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Cependant, la figure représentée est un triangle. Pour satisfaire cette condition, en paires ordonnées y ne peut pas être supérieur à x.

A noter que les valeurs de y sont limitées par égalité avec les valeurs de x, formant l'hypoténuse de ce triangle rectangle: (0,0), (1;1), (2;2), (3;3 ), (4; 4), (5;5)...(10;10).

Ainsi, nous devons: y x.

Bientôt, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

Pour en savoir plus, lisez aussi:

• Ensembles numériques
• nombres réels
• Entiers
• Nombres rationnels
• nombres irrationnels
• Nombres naturels
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• Exercices sur les décors
• Exercices sur les nombres complexes