Le mmc et le mdc représentent, respectivement, le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur entre deux nombres ou plus.
Ne manquez pas l'occasion de clarifier tous vos doutes à travers les exercices commentés et résolus que nous vous présentons ci-dessous.
Exercices proposés
Exercice 1
Par rapport aux nombres 12 et 18, déterminez sans considérer 1.
a) Les diviseurs de 12.
b) Les diviseurs de 18.
c) Les diviseurs communs de 12 et 18.
d) Le plus grand commun diviseur de 12 et 18.
a) 2, 3, 4, 6 et 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 et 6
d) 6
Exercice 2
Calculez le MMC et le MDC entre 36 et 44.
Exercice 3
Considérons un nombre x, naturel. Ensuite, classez les affirmations comme vraies ou fausses et justifiez.
a) Le plus grand commun diviseur de 24 et x peut être 7.
b) Le plus grand commun diviseur de 55 et 15 peut être 5.
a) Non, car 7 n'est pas un diviseur de 24.
b) Oui, car 5 est un diviseur commun entre 55 et 15.
Exercice 4
Lors d'une présentation pour le lancement de la nouvelle voiture de course de l'équipe TodaMatéria, une course insolite a eu lieu. Trois véhicules ont participé: la voiture de lancement, la voiture de la saison dernière et une voiture de tourisme ordinaire.
Le circuit est ovale, les trois partent ensemble et gardent des vitesses constantes. La voiture de lancement met 6 minutes pour effectuer un tour. La voiture de la saison dernière met 9 minutes pour boucler un tour et la voiture de tourisme met 18 minutes pour boucler un tour.
Après le départ de la course, combien de temps leur faudra-t-il pour repasser ensemble par le même point de départ ?
Pour déterminer, il est nécessaire de calculer le mmc (6, 9, 18).
Ils sont donc repassés par le même point de départ 18 minutes plus tard.
Exercice 5
Dans une confection, il y a des rouleaux de maille mesurant 120, 180 et 240 centimètres. Vous devrez couper le tissu en morceaux égaux, aussi gros que possible, et il ne restera rien. Quelle sera la longueur maximale de chaque bande de maille ?
Pour déterminer, il faut calculer le mdc (120,180,240).
La longueur la plus longue possible, sans surplombs, sera de 60 cm.
Exercice 6
Déterminez le MMC et le MDC à partir des nombres suivants.
a) 40 et 64
Bonne réponse: mmc = 320 et mdc = 8.
Pour trouver mmc et mdc, la méthode la plus rapide consiste à diviser les nombres simultanément par les plus petits nombres premiers possibles. Voir ci-dessous.
Notez que mmc est calculé en multipliant les nombres utilisés dans la factorisation et gdc est calculé en multipliant les nombres qui divisent les deux nombres simultanément.
b) 80, 100 et 120
Bonne réponse: mmc = 1200 et mdc = 20.
La décomposition simultanée des trois nombres nous donnera le mmc et le mdc des valeurs présentées. Voir ci-dessous.
La division par les nombres premiers nous a donné le résultat de mmc en multipliant les facteurs et mdc en multipliant les facteurs qui divisent les trois nombres simultanément.
Exercice 7
En utilisant la factorisation en nombres premiers, déterminez: quels sont les deux nombres consécutifs dont mmc est 1260 ?
a) 32 et 33
b) 33 et 34
c) 35 et 36
d) 37 et 38
Alternative correcte: c) 35 et 36.
Premièrement, nous devons factoriser le nombre 1260 et déterminer les facteurs premiers.
En multipliant les facteurs, nous trouvons que les nombres consécutifs sont 35 et 36.
Pour le prouver, calculons le mmc des deux nombres.
Exercice 8
Une chasse au trésor avec les élèves de trois classes de 6e, 7e et 8e aura lieu pour célébrer la Journée de l'étudiant. Voir ci-dessous le nombre d'élèves dans chaque classe.
| Classer | 6º | 7º | 8º |
| Nombre d'étudiants | 18 | 24 | 36 |
Déterminer par l'intermédiaire du mdc le nombre maximum d'élèves de chaque classe pouvant participer au concours au sein d'une équipe.
Après cela, répondez: combien d'équipes peuvent être formées respectivement par les 6e, 7e et 8e classes, avec le nombre maximum de participants par équipe ?
a) 3, 4 et 5
b) 4, 5 et 6
c) 2, 3 et 4
d) 3, 4 et 6
Alternative correcte: d) 3, 4 et 6.
Pour répondre à cette question, il faut commencer par factoriser les valeurs données en nombres premiers.
Par conséquent, nous avons trouvé le nombre maximum d'étudiants par équipe et, de cette façon, chaque classe aura :
6ème année: 6/18 = 3 équipes
7ème année: 6/24 = 4 équipes
8ème année: 36/6 = 6 équipes
Examens d'entrée Questions résolues
question 1
(Apprenti Marin - 2016) Soit A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) et y = mdc (A, B), alors la valeur de x + y est égale à :
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Alternative correcte: d) 520.
Pour trouver la valeur de la somme de x et y, il faut d'abord trouver ces valeurs.
De cette façon, nous allons factoriser les nombres en facteurs premiers, puis calculer le mmc et le mdc entre les nombres donnés.
Maintenant que nous connaissons la valeur de x (mmc) et y (mdc), nous pouvons trouver la somme :
x + y = 480 + 40 = 520
Alternative: d) 520
question 2
(Unicamp - 2015) Le tableau ci-dessous renseigne quelques valeurs nutritionnelles pour la même quantité de deux aliments, A et B.
Considérons deux portions isocaloriques (de même valeur énergétique) des aliments A et B. Le rapport entre la quantité de protéine dans A et la quantité de protéine dans B est égal à
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Alternative correcte: c) 8.
Pour trouver les portions isocaloriques des aliments A et B, calculons le mmc entre les valeurs énergétiques respectives.
Ainsi, nous devons considérer la quantité nécessaire de chaque aliment pour obtenir la valeur calorique.
Considérant l'aliment A, pour avoir une valeur calorique de 240 Kcal, il faut multiplier les calories initiales par 4 (60. 4 = 240). Pour l'aliment B, il faut multiplier par 3 (80. 3 = 240).
Ainsi, la quantité de protéines dans l'aliment A sera multipliée par 4 et celle dans l'aliment B par 3 :
Nourriture A: 6. 4 = 24g
Nourriture B: 1. 3 = 3g
Ainsi, nous avons que le rapport entre ces quantités sera donné par :
Alternative: c) 8
question 3
(UERJ - 2015) Dans le tableau ci-dessous, trois possibilités sont indiquées pour ranger n cahiers en packages :
Si n est inférieur à 1200, la somme des chiffres de la plus grande valeur de n est :
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Alternative correcte: b) 17.
Compte tenu des valeurs rapportées dans le tableau, nous avons les relations suivantes :
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Notez que si nous ajoutions 1 livre à la valeur de n, nous n'aurions plus de reste dans les trois situations, car nous formerions un autre package :
n + 1 = 12. x + 12
n+1 = 20. x + 20
n+1 = 18. x + 18
Ainsi, n+1 est un multiple commun de 12, 18 et 20, donc si nous trouvons le mmc (qui est le plus petit commun multiple), nous pouvons, à partir de là, trouver la valeur de n+1.
Calcul du mmc :
Ainsi, la plus petite valeur de n + 1 sera 180. Cependant, nous voulons trouver la plus grande valeur de n inférieure à 1200. Cherchons donc un multiple qui satisfait à ces conditions.
Pour cela, multiplions 180 jusqu'à trouver la valeur souhaitée :
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (cette valeur est supérieure à 1 200)
On peut donc calculer la valeur de n :
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
La somme de ses chiffres sera donnée par :
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternative: b) 17
Voir aussi: MMC et MDC
question 4
(Enem - 2015) Un architecte rénove une maison. Afin de contribuer à l'environnement, elle décide de réutiliser des planches de bois provenant de la maison. Il comporte 40 planches de 540 cm, 30 de 810 cm et 10 de 1080 cm, toutes de même largeur et épaisseur. Il a demandé à un menuisier de couper les planches en morceaux de longueur égale, sans laisser les restes, et pour que les nouvelles pièces soient aussi grandes que possible, mais plus courtes que 2 m.
En réponse à la demande de l'architecte, le menuisier doit produire
a) 105 pièces.
b) 120 pièces.
c) 210 pièces.
d) 243 pièces.
e) 420 pièces.
Alternative correcte: e) 420 pièces.
Comme il est demandé aux pièces d'être de même longueur et aussi grandes que possible, calculons le mdc (diviseur commun maximum).
Calculons le mdc entre 540, 810 et 1080 :
Cependant, la valeur trouvée ne peut pas être utilisée, car la longueur est limitée à moins de 2 m.
Divisons donc 2,7 par 2, car la valeur trouvée sera également un diviseur commun de 540, 810 et 1080, puisque 2 est le plus petit facteur premier commun de ces nombres.
Ensuite, la longueur de chaque pièce sera égale à 1,35 m (2,7: 2). Maintenant, nous devons calculer combien de pièces nous aurons de chaque planche. Pour cela, nous allons faire :
5,40: 1,35 = 4 pièces
8.10: 1.35 = 6 pièces
10,80: 1,35 = 8 pièces
En considérant la quantité de chaque planche et en additionnant, nous avons :
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 pièces
Alternative: e) 420 pièces
question 5
(Enem - 2015) Le gérant d'un cinéma offre chaque année des billets gratuits aux écoles. Cette année, 400 billets seront distribués pour une séance de l'après-midi et 320 billets pour une séance du soir du même film. Plusieurs écoles peuvent être choisies pour recevoir des billets. Il y a quelques critères pour la distribution des billets :
- chaque école doit recevoir des billets pour une seule session;
- toutes les écoles éligibles doivent recevoir le même nombre de billets ;
- il n'y aura pas de billets restants (c'est-à-dire que tous les billets seront distribués).
Le nombre minimum d'écoles pouvant être choisies pour obtenir des billets, selon les critères établis, est de
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Alternative correcte: c) 9.
Pour connaître le nombre minimum d'écoles, nous devons connaître le nombre maximum de billets que chaque école peut recevoir, étant donné que ce nombre doit être égal dans les deux sessions.
De cette façon, nous calculerons le mdc entre 400 et 320 :
La valeur mdc trouvée représente le plus grand nombre de billets que chaque école recevra, de sorte qu'il n'y ait pas de restes.
Pour calculer le nombre minimum d'écoles pouvant être choisies, nous devons également diviser le nombre de billets pour chaque session par le nombre de billets que chaque école recevra, nous avons donc :
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Par conséquent, le nombre minimum d'écoles sera égal à 9 (5 + 4).
Alternative: c) 9.
question 6
(Cefet/RJ - 2012) Quelle est la valeur de l'expression numérique ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Alternative correcte: a) 0,2222
Pour trouver la valeur de l'expression numérique, la première étape consiste à calculer le mmc entre les dénominateurs. Ainsi:
Le mmc trouvé sera le nouveau dénominateur des fractions.
Cependant, afin de ne pas changer la valeur de la fraction, nous devons multiplier la valeur de chaque numérateur par le résultat de la division du mmc par chaque dénominateur :
En résolvant l'addition et la division, on a :
Alternative: a) 0,2222
question 7
(EPCAR - 2010) Un agriculteur plantera des haricots dans un lit droit. Pour cela, il a commencé à marquer les endroits où il planterait les graines. La figure ci-dessous indique les points déjà marqués par l'agriculteur et les distances, en cm, entre eux.
Cet agriculteur a ensuite marqué d'autres points parmi ceux existants, de sorte que la distance ré parmi tous était le même et le plus grand possible. si X représente le nombre de fois la distance ré a été obtenu par l'agriculteur, donc X est un nombre divisible par
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Alternative correcte: d) 7.
Pour résoudre la question, nous devons trouver un nombre qui divise les nombres présentés en même temps. Comme la distance est demandée pour être aussi loin que possible, nous allons calculer le mdc entre eux.
De cette façon, la distance entre chaque point sera égale à 5 cm.
Pour trouver le nombre de fois où cette distance a été répétée, divisons chaque segment d'origine par 5 et additionnons les valeurs trouvées :
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Le nombre trouvé est divisible par 7, puisque 21,7 = 147
Alternative: d) 7
Voir aussi: Multiples et diviseurs
