Systèmes d'équations du 1er degré: exercices commentés et résolus

Les systèmes d'équations du 1er degré sont constitués d'un ensemble d'équations qui présentent plus d'une inconnue.

Résoudre un système, c'est trouver les valeurs qui satisfont toutes ces équations simultanément.

De nombreux problèmes sont résolus par des systèmes d'équations. Il est donc important de connaître les méthodes de résolution pour ce type de calcul.

Profitez des exercices résolus pour résoudre tous vos doutes concernant ce sujet.

Problèmes commentés et résolus

1) Apprentis marins - 2017

La somme d'un nombre x et de deux fois un nombre y est - 7; et la différence entre le triple de ce nombre x et le nombre y est égale à 7. Par conséquent, il est correct d'affirmer que le produit xy est égal à :

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Voir la réponse

Commençons par construire les équations en considérant la situation proposée dans le problème. Ainsi, nous avons :

x + 2.y = - 7 et 3.x - y = 7

Les valeurs de x et y doivent satisfaire les deux équations en même temps. Ils forment donc le système d'équations suivant :

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clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec x plus 2 y est égal à moins 7 fin de ligne de cellule avec cellule avec 3 x moins y est égal à 7 fin de cellule fin de tableau se ferme

On peut résoudre ce système par la méthode de l'addition. Pour ce faire, multiplions la deuxième équation par 2 :

clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche des attributs ligne avec cellule avec x plus 2 y est égal à moins 7 fin de la cellule ligne avec cellule avec 6 x moins 2 y est égal à 14 espace espace espace espace espace espace parenthèse gauche m u l t i p l i ca m s espace e s s a espace e qu a tio n espace p r espace 2 parenthèse droite fin de cellule fin de tableau se ferme

Additionner les deux équations :

$le numérateur plus ouvre les clés de la table des attributs alignement des colonnes extrémité gauche de la ligne d'attributs avec cellule avec x plus diagonale vers le haut en diagonale sur 2 y la fin de la barre est égale à moins 7 fin de ligne de cellule avec cellule avec 6 x moins barré en diagonale sur 2 y fin de barré égal à 14 fin de cellule fin de tableau se ferme sur le dénominateur 7 x égal à 7 fin de fraction$

En remplaçant la valeur de x trouvée dans la première équation, on a :

1 + 2 ans = - 7
2y = - 7 - 1
$y est égal au numérateur moins 8 au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction est égal à moins 4$

Ainsi, le produit xy sera égal à :

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternative: d) - 4

2) Collège militaire/RJ - 2014

Un train circule d'une ville à l'autre toujours à vitesse constante. Lorsque le trajet est effectué avec une vitesse de 16 km/h en plus, le temps passé diminue de deux heures et demie, et lorsqu'il est effectué avec une vitesse de 5 km/h en moins, le temps passé augmente d'une heure. Quelle est la distance entre ces villes ?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Voir la réponse

La vitesse étant constante, on peut utiliser la formule suivante :

Ensuite, la distance est trouvée en faisant :

d = v.t

Pour la première situation on a :

v₁ = v + 16 et t₁ = t - 2,5

Remplacement de ces valeurs dans la formule de distance :

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40

On peut remplacer v.t par d dans l'équation et simplifier :

le risque diagonal vers le haut d est égal au risque diagonal vers le haut d moins 2 virgule 5 v plus 16 t moins 40
-2.5v +16t = 40

Pour la situation où la vitesse diminue :

v₂= v - 5 et t₂ = t + 1

Faire la même substitution :

d = (v -5). (t+1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Avec ces deux équations, on peut assembler le système suivant :

clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec moins 2 virgule 5 v plus 16 t équivaut à 40 fin de ligne de cellule avec cellule avec v moins 5 t équivaut à 5 fin de cellule fin de tableau se ferme

En résolvant le système par la méthode de substitution, isolons le v dans la deuxième équation :

v = 5 + 5t

Remplacement de cette valeur dans la première équation :

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5 t + 16 t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5 t = 52,5
$t égal au numérateur 52 virgule 5 au-dessus du dénominateur 3 virgule 5 fin de fraction égale à 15 h$

Remplaçons cette valeur pour trouver la vitesse :

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km/h

Pour trouver la distance, il suffit de multiplier les valeurs de vitesse et de temps trouvées. Ainsi:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternative: a) 1200 km

3) Les Apprentis Marins - 2016

Un étudiant a payé une collation de 8 reais en 50 cents et 1 reais. Sachant que, pour ce paiement, l'étudiant a utilisé 12 pièces, déterminez, respectivement, les montants de 50 cents et une vraie pièce qui a été utilisée pour payer la collation et cochez la bonne option.

a) 5 et 7
b) 4 et 8
c) 6 et 6
d) 7 et 5
e) 8 et 4

Voir la réponse

En considérant x le nombre de pièces de 50 centimes, y le nombre de pièces de 1 dollar et le montant payé égal à 8 reais, on peut écrire l'équation suivante :

0,5x + 1y = 8

Nous savons également que 12 pièces ont été utilisées dans le paiement, donc :

x + y = 12

Assemblage et résolution du système par addition :

clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec x plus y égal à 12 fin de la cellule ligne avec cellule avec moins 0 virgule 5 x moins y est égal à moins 8 espace espace espace parenthèse gauche m u l ti p l i c et espace pour r espace moins 1 parenthèse droite fin de cellule fin de tableau fermer

$le numérateur plus ouvre les clés de la table des attributs alignement des colonnes extrémité gauche des attributs ligne avec cellule avec x plus diagonale vers le haut y risque égal à 12 fin de ligne de cellule avec cellule avec 0 virgule 5 x moins diagonale haut y risque égal à moins 8 fin de cellule fin de le tableau se termine au dénominateur 0 virgule 5 x égal à 4 fin de fraction x égal au numérateur 4 sur dénominateur 0 virgule 5 fin de fraction x égal à 8$

Remplacement de la valeur trouvée de x dans la première équation :

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternative: e) 8 et 4

4) Collège Pedro II - 2014

D'une boîte contenant B boules blanches et P boules noires, 15 boules blanches ont été retirées, en conservant entre les boules restantes le rapport de 1 blanche pour 2 noires. Ensuite, 10 noirs ont été retirés, laissant, dans la boîte, un nombre de boules dans le rapport de 4 blancs pour 3 noirs. Un système d'équations pour déterminer les valeurs de B et P peut être représenté par :

parenthèse droite espace ouvre les clés attributs de la table alignement des colonnes extrémité gauche de la ligne d'attributs avec cellule avec 2 B moins P est égal à 30 fin de la ligne de cellule avec cellule avec 3 B moins 4 P est égal à 5 fin de la cellule fin du tableau fermer b parenthèse droite espace clés ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec B plus P est égal à 30 fin de cellule ligne à cellule avec B moins P est égal à 5 fin de cellule fin de tableau fermer c parenthèse droite clés ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes fin gauche dos attributs ligne avec cellule avec 2 B plus P est égal à moins 30 fin de cellule ligne avec cellule avec moins 3 B moins 4 P est égal à moins 5 fin de cellule fin de tableau fermer d parenthèse droite ouverte clés table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec 2 B plus P est égal à 30 fin de cellule ligne avec cellule avec 3 B moins 4 P est égal à 5 fin de cellule fin de la table se ferme

Voir la réponse

En considérant la première situation indiquée dans le problème, on a la proportion suivante :

$numérateur B moins 15 sur le dénominateur P fin de fraction égale à 1 demi-espace espace espace espace espace espace$

En multipliant cette proportion "en croix", on a :

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Faisons de même pour la situation suivante :

$numérateur B moins 15 sur dénominateur P moins 10 fin de fraction égale à 4 sur 3$

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

En mettant ces équations ensemble dans un système, nous trouvons la réponse au problème.

Alternative: a) clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec 2 B moins P est égal à 30 fin de ligne de cellule avec cellule avec 3 B moins 4 P est égal à 5 fin de cellule fin de tableau se ferme

5) Faetec - 2012

Carlos a résolu, en un week-end, 36 exercices de mathématiques de plus que Nilton. Sachant que le nombre total d'exercices résolus par les deux était de 90, le nombre d'exercices résolus par Carlos est égal à :

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Voir la réponse

En considérant x comme le nombre d'exercices résolus par Carlos et y comme le nombre d'exercices résolus par Nilton, on peut mettre en place le système suivant :

clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec x égal à y plus 36 fin de ligne de cellule avec cellule avec x plus y égal à 90 fin de cellule fin de tableau se ferme

En remplaçant x par y + 36 dans la deuxième équation, on a :

y + 36 + y = 90
2 ans = 90 - 36
y est égal à 54 sur 2 y est égal à 27

Remplacement de cette valeur dans la première équation :

x = 27 + 36
x = 63

Alternative: a) 63

6) Enem/PPL - 2015

La tente de tir sur cible d'un parc d'attractions offrira un prix de 20 R$ au participant, chaque fois qu'il atteint la cible. Par contre, chaque fois qu'il manque la cible, il doit payer 10,00 $. Il n'y a pas de frais initiaux pour jouer au jeu. Un participant a tiré 80 coups de feu et, à la fin, a reçu 100,00 R$. Combien de fois ce participant a-t-il atteint la cible ?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Voir la réponse

Où x est le nombre de tirs qui ont touché la cible et y est le nombre de mauvais tirs, nous avons le système suivant :

clés ouvertes table attributs alignement des colonnes extrémité gauche attributs ligne avec cellule avec 20x moins 10 y est égal à 100 fin de ligne de cellule avec cellule avec x plus y est égal à 80 fin de cellule fin de tableau se ferme

On peut résoudre ce système par la méthode de l'addition, on va multiplier tous les termes de la deuxième équation par 10 et additionner les deux équations :

$plus le numérateur ouvre les clés des attributs du tableau alignement des colonnes extrémité gauche des attributs ligne avec cellule avec 20 x moins barré en diagonale vers le haut sur 10 y fin barré égal à 100 fin de cellule rangée à cellule avec 10 x plus barré en diagonale vers le haut sur 10 y fin de barré égal à 800 fin de cellule fin de tableau ferme au dénominateur 30 x espace égal à 900 fin de fraction x égal à 900 sur 30 x égal à 30 ans$

Par conséquent, le participant a atteint la cible 30 fois.

Alternative: a) 30

7) Enem - 2000

Une compagnie d'assurance a collecté des données sur les voitures dans une ville donnée et a constaté qu'en moyenne 150 voitures sont volées chaque année. Le nombre de voitures de marque X volées est le double du nombre de voitures de marque Y volées, et les marques X et Y représentent ensemble environ 60 % des voitures volées. Le nombre attendu de voitures de marque Y volées est :

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

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Le problème indique que le nombre de voitures volées des marques x et y ensemble équivaut à 60% du total, donc :

150.0,6 = 90

Compte tenu de cette valeur, on peut écrire le système suivant :