Prismes sont des figures tridimensionnelles formées par deux bases congruentes et parallèles, les bases, à leur tour, sont formées par polygones convexes. Les autres faces nommées faces latérales sont formées par parallélogrammes. Pour déterminer l'aire d'un prisme, il est nécessaire d'effectuer son Planification puis calculez l'aire de la figure plate.
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Planification d'un prisme
L'idée de la planification est de transformer une figure en trois dimensions en un figure en deux dimensions. En pratique, cela équivaudrait à couper les bords du prisme. Vous trouverez ci-dessous un exemple de planification d'un prisme triangulaire.
Le même processus peut être adopté pour chaque prisme, cependant, notez qu'au fur et à mesure que nous augmentons le nombre de côtés des polygones de base, la tâche devient de plus en plus difficile. Pour cette raison, nous ferons des généralisations basées sur la planification de ce polygone.
Calcul de l'aire latérale
En observant l'image du prisme triangulaire, on a que les parallélogrammes ABFC, ABFD et ACDE sont les faces latérales. Notez que le les faces latérales d'un prisme seront toujours des parallélogrammes quel que soit le nombre de côtés des polygones de base, cela se produit parce qu'ils sont parallèles et congruents.
En regardant la figure du prisme triangulaire, nous voyons également que nous avons trois faces latérales. Cela est dû au nombre de côtés du polygone de base, c'est-à-dire si les bases du prisme sont un quadrilatère, nous aurons quatre faces latérales, si les bases sont un pentagone, nous aurons cinq faces latérales, et ainsi de suite. Ainsi: le nombre de côtés du polygone de base affecte le nombre de faces latérales du prisme.
Par conséquent, la zone latérale (AL) de tout prisme est donnée par l'aire d'une face latérale multipliée par le nombre de faces latérales, c'est-à-dire l'aire du parallélogramme multipliée par le nombre de côtés de la face.
LESL = (base · hauteur) · nombre de côtés du visage
Exemple
Calculez l'aire latérale d'un prisme hexagonal régulier avec un bord de base égal à 3 cm et une hauteur égale à 11 cm.
Le prisme en question est représenté par :
L'aire latérale est ensuite calculée par l'aire du rectangle multipliée par le nombre de côtés du polygone de base, qui est 6, donc :
LESL = (base · hauteur) · nombre de côtés du visage
LESL = (3 · 11) · 6
LESL = 198cm2
Calcul de la surface de base
LES surface de base (LESB) d'un prisme dépend du polygone qui le compose. Comme dans un prisme nous avons deux faces parallèles et congruentes, l'aire de base est donnée par la somme des aires des polygones parallèles, c'est-à-dire deux fois l'aire du polygone.
LESB = 2 · surface du polygone
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Exemple
Calculez l'aire de base d'un prisme hexagonal régulier avec un bord de base égal à 3 cm et une hauteur égale à 11 cm.
La base de ce prisme est un hexagone régulier, et celui-ci, vu de dessus, ressemble à :
Notez que le Triangles formés à l'intérieur de l'hexagone sont équilatéraux, donc l'aire de l'hexagone est donnée par six fois la aire du triangle équilatéral.
Cependant, notez que, dans le prisme, nous avons deux hexagones, donc la surface de base est le double de la surface du polygone.
Calcul de la superficie totale
LES superficie totale (AT) d'un prisme est donnée par la somme de l'aire latérale (LESL) avec la surface de base (LESB).
LEST = UnL + UnB
Exemple
Calculez l'aire totale d'un prisme hexagonal régulier avec un bord de base égal à 3 cm et une hauteur égale à 11 cm.
D'après les exemples précédents, nous avons que AL = 198cm2 et leB = 27√3 cm2. La surface totale est donc donnée par :
Exercices résolus
question 1 – Un hangar a la forme d'un prisme qui repose sur un trapèze, comme le montre la figure.
Vous voulez peindre cette remise et il est connu que le prix de la peinture est de 20 reais le mètre carré. Combien cela coûtera-t-il de peindre ce hangar? (Donné: √2 = 1,4)
Solution
Dans un premier temps, déterminons la superficie de la remise. Sa base est un trapèze, donc :
Par conséquent, la surface de base est :
LESB = 2 ·Atrapèze
LESB = 2 ·10
LESB = 20 mètres2
La zone latérale en rouge est un rectangle, et nous avons le bas, donc cette zone est :
LESV = 2 · 4· 14
LESV= 112 m2
La zone en bleu est aussi un rectangle, mais nous n'avons pas sa base. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le trapèze, on a :
X2 = 22 + 22
X2 = 8
x = 2√2
L'aire du rectangle en bleu est donc :
LESLES = 2 ·14·2√2
LESLES = 54√2 m2
Par conséquent, l'aire latérale du prisme est égale à :
LESL = 112 + 54√2
LESL = 112 + 75,6
LESL = 187,6 m2
Et donc l'aire totale de ce prisme est :
LEST= 20 + 187,6
LEST= 207,6 m2
Comme le prix de la peinture est de 20 reais par mètre carré, le montant dépensé pour peindre le hangar est de :
20 ·207,6 = 4 152 reais
Réponse: Le montant dépensé pour peindre le hangar est de 4 152,00 R$
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm
