Le théorème de D'Alembert

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O Le théorème de D'Alembert est permet de savoir si un polynômeP(x) est divisible par un binôme de type ax + b, avant même d'effectuer la division entre eux.

Autrement dit, le théorème permet de savoir si le reste R de la division est égal à zéro ou non. Ce théorème est une conséquence immédiate de la théorème du repos pour la division des polynômes. Comprenez pourquoi ci-dessous.

théorème du repos

Lors de la division d'un polynôme P(x) par un binôme de type ax + b, le reste R est égal à la valeur de P(x) lorsque x est la racine du binôme ax + b.

Racine du binôme: ax + b = 0 x = -b/a. Donc, par le théorème du repos, on doit :

R = P(-b/a)

Maintenant, voyons que si P(-b/a) = 0, alors R = 0 et si R = 0, nous avons la divisibilité entre les polynômes. Et c'est exactement ce que nous dit le théorème de D'Alembert.

Le théorème de D'Alembert: si P(-b/a) = 0, alors le polynôme P(x) est divisible par le binôme axe + b.

Exemple 1

Vérifier que le polynôme P(x) = 6x² + 2x est divisible par 3x + 1.

1er) On détermine la racine de 3x + 1 :

-b/a = -1/3

2) On remplace x par -1/3 dans le polynôme P(x) = 6x² + 2x :

P(-1/3) = 6.(-1/3)² + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6.(1/9) + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6/9 - 2/3
P(-1/3) = 2/3 - 2/3
P(-1/3) = 0

Puisque P(-1/3) = 0, le polynôme P(x) = 6x² + 2x est divisible par 3x + 1.

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Exemple 2

Vérifier que le polynôme P(x) = 12x³ + 4x² – 8x est divisible par 4x.

1er) On détermine la racine de 4x :

-b/a = -0/4 = 0

2e) On remplace x par 0 dans le polynôme P(x) = 12x³ + 4x² – 8x :

P(0) = 12,0³ + 4,0² - 8,0
P(0) = 0 + 0 - 0
P(0) = 0

Puisque P(0) = 0, le polynôme P(x) = 12x³ + 4x² – 8x est divisible par 4x.

Exemple 3

Vérifier que le polynôme P(x) = x² – 2x + 1 est divisible par x – 2.

1er) On détermine la racine de x – 2 :

-b/a = -(-2)/1 = 2

2e) On remplace x par 2 dans le polynôme P(x) = x² - 2x + 1 :

P(2) = 2² - 2,2 + 1
P(2) = 4 - 4 +1
P(2) = 1

Puisque P(2) 0, le polynôme P(x) = x² – 2x + 1 n'est pas divisible par x – 2.

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