Exercices sur les nombres factoriels

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nombres de facteurs sont des entiers positifs qui indiquent le produit entre le nombre lui-même et tous ses prédécesseurs.

Pour $\dpi{120} n\geq 2$ , Nous devons:

$\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$

Pour $\dpi{120} n = 0$ et $\dpi{120} n =1$ , la factorielle est définie comme suit :

$\dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}$
$\dpi{120} \boldsymbol{1!=1}$

Pour en savoir plus sur ces chiffres, consultez un liste d'exercices sur les nombres factoriels, le tout avec résolution !

Indice

Exercices sur les nombres factoriels
Résolution de la question 1
Résolution de la question 2
Résolution de la question 3
Résolution de la question 4
Résolution de la question 5
Résolution de la question 6
Résolution de la question 7
Résolution de la question 8

Exercices sur les nombres factoriels

Question 1. Calculer la factorielle de :

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Question 2. Déterminer la valeur de :

a) 5! + 3!
b) 6! – 4!
c) 8! – 7! + 1! – 0!

Question 3. Résoudre les opérations :

a) 8!. 8!
b) 5! – 2!. 3!
c) 4!. (1 + 0)!

Question 4. Calculer les divisions entre factorielles :

Le) $\dpi{120} \frac{10!}{9!}$

B) $\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}$

ç) $\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}$

Question 5. Étant $\dpi{120} a\in \mathbb{Z}$ , $\dpi{120} a> 0$ , Express $\dpi{120} (a+5) !$ de l'autre côté $\dpi{120} un!$

Question 6. Simplifiez les ratios suivants :

Le) $\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}$

B) $\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}$

ç) $\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}$

Question 7. Résous l'équation:

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$\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2) !$

Question 8. Simplifiez le quotient :

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x+1)! + x !}$

Résolution de la question 1

a) La factorielle de 4 est donnée par :

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

b) La factorielle de 5 est donnée par :

5! = 5. 4. 3. 2. 1

Comme 4. 3. 2. 1 = 4!, on peut réécrire 5! Par ici:

5! = 5. 4!

On a déjà vu ça 4! = 24, donc :

5! = 5. 24 = 120

c) La factorielle de 6 est donnée par :

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1

Comme 5. 4. 3. 2. 1 = 5!, on peut réécrire 6! comme suit:

6! = 6. 5! = 6. 120 = 720

d) La factorielle de 7 est donnée par :

7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1

Comme 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6!, on peut réécrire 7! Par ici:

7! = 7. 6! = 7. 720 = 5040

Résolution de la question 2

a) 5! + 3! = ?

Lors de l'addition ou de la soustraction de nombres factoriels, nous devons calculer chaque factoriel avant d'effectuer l'opération.

Comme 5! = 120 et 3! = 6, il faut donc :

5! + 3! = 120 + 6 = 126

b) 6! – 4! = ?

Comme 6! = 720 et 4! = 24, il faut :

6! – 4! = 720 – 24 = 696

c) 8! – 7! + 1! – 0! = ?

Comme 8! = 40320, 7! = 5040, 1! = 1 et 0! = 1, il faut :

8! – 7! + 1! – 0! = 40320 – 5040 + 1 – 1 = 35280

Résolution de la question 3

a) 8!. 8! = ?

Dans la multiplication de nombres factoriels, nous devons calculer les factorielles puis effectuer la multiplication entre elles.

Comme 8! = 40320, il faut donc :

8!. 8! = 40320. 40320 = 1625702400

b) 5! – 2!. 3! = ?

Comme 5! = 120, 2! = 2 et 3! = 6, il faut :

5! – 2!. 3! = 120 – 2. 6 = 120 – 12 = 108

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c) 4!. (1 + 0)! = 4!. 1! = ?

Comme 4! = 24 et 1! = 1, il faut donc :

4!. 1! = 24. 1 = 24

Résolution de la question 4

Le) $\dpi{120} \frac{10!}{9!}$ = ?

En divisant des nombres factoriels, nous devons également calculer les factorielles avant de résoudre la division.

Comme 10! = 3628800 et 9! = 362880, donc, $\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{3628800}{362880} = 10$ .

Cependant, en division, nous pouvons simplifier les factorielles, en annulant des termes égaux au numérateur et au dénominateur. Cette procédure facilite de nombreux calculs. Voir:

Comme 10! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 10. 9!, il faut :

$\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{10\cdot \annuler{9!}}{\annuler{9!}} = 10$

B) $\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}$ = ?

$\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\annuler {4!}} = 30$

ç) $\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}$ = ?

$\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = \frac{20!}{(19 + 1 - 1)!} = \frac{20!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\ annuler{19!}} = 20$

Résolution de la question 5

Se souvenir que $\dpi{120} n! = n. (n - 1) !$ , on peut réécrire $\dpi{120} (a+5) !$ Par ici:

$\dpi{120} (a+5)! = (a + 5). (a + 5 - 1)! = (a + 5). (un + 4) !$

Suite à cette procédure, nous devons :

$\dpi{120} (a+5)! = (a + 5). (un + 4). (un + 3). (a+2). (un + 1). Le!$

Résolution de la question 6

Le) $\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}$ = ?

On peut réécrire le numérateur comme suit :

$\dpi{120} (n+1)! = (n+1).(n+1 - 1)! = (n+1).n!$

De cette façon, nous avons pu annuler le terme $\dpi{120} n!$ , en simplifiant le quotient :

$\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1).\annuler{n!}}{\annuler{n!}} = n+1$

B) $\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}$ = ?

On peut réécrire le numérateur comme suit :

$\dpi{120} n! = n.(n-1) !$

Ainsi, nous avons pu annuler le terme $\dpi{120} n!$ , en simplifiant le quotient :

$\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n. \annuler{(n-1)!}}{\annuler{(n-1)!}} = n$

ç) $\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}$ = ?

On peut réécrire le numérateur comme suit :

$\dpi{120} (n+3)! = (n+3).(n+2).(n+1). non!$

Ainsi, nous pouvons annuler certains termes du quotient :

$\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}= \frac{\annuler{(n+3).(n+) 2).(n+1)}.n!}{\annuler{(n+3).(n+2).(n+1)}} = n!$

Résolution de la question 7

résous l'équation $\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2) !$ signifie trouver les valeurs de $\dpi{120} x$ pour laquelle l'égalité est vraie.

Commençons par décomposer les termes avec des factorielles, pour tenter de simplifier l'équation :

$\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2) !$

$\dpi{120} \Rightarrow 12x! + 5(x + 1).x! = (x + 2).(x+1).x!$

divisant les deux côtés par $\dpi{120} x !$ , nous avons réussi à éliminer la factorielle de l'équation :

$\dpi{120} \frac{12\annuler{x!}}{\annuler{x!}} + \frac{5(x + 1).\annuler{x!}}{\annuler{x!}} = \frac{(x + 2).(x+1).\annuler{x!}}{\annuler{x!}}$

$\dpi{120} \Rightarrow 12 + 5(x + 1) = (x + 2).(x+1)$

En multipliant les termes entre parenthèses et en arrangeant l'équation, il faut :

$\dpi{120} 12 + 5x + 5 = x^2 + x + 2x + 2$

$\dpi{120} x^2 - 2x - 15 = 0$

C'est un équation du 2e degré. Du Formule Bhaskara, on détermine les racines :

$\dpi{120} x = 5 \, \mathrm{ou}\, x = -3$

Par définition de factorielle, $\dpi{120} x$ ne peut pas être négatif, alors, $\dpi{120} x = 5$ .

Résolution de la question 8

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x+1)! + x !}$

Comme $\dpi{120} (x+2)! = (x+2).(x+1).x!$ et $\dpi{120} (x+1)! = (x+1).x!$ , on peut réécrire le quotient sous la forme :

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (x + 1).x! + x !}$

Comme les trois parties du dénominateur ont le terme $\dpi{120} x !$ , nous pouvons le mettre en surbrillance et annuler avec $\dpi{120} x !$ qui apparaît au numérateur.