Exercices sur les nombres factoriels


nombres de facteurs sont des entiers positifs qui indiquent le produit entre le nombre lui-même et tous ses prédécesseurs.

Pour \dpi{120} n\geq 2, Nous devons:

\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}

Pour \dpi{120} n = 0 et \dpi{120} n =1, la factorielle est définie comme suit :

  • \dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}
  • \dpi{120} \boldsymbol{1!=1}

Pour en savoir plus sur ces chiffres, consultez un liste d'exercices sur les nombres factoriels, le tout avec résolution !

Indice

  • Exercices sur les nombres factoriels
  • Résolution de la question 1
  • Résolution de la question 2
  • Résolution de la question 3
  • Résolution de la question 4
  • Résolution de la question 5
  • Résolution de la question 6
  • Résolution de la question 7
  • Résolution de la question 8

Exercices sur les nombres factoriels


Question 1. Calculer la factorielle de :

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7


Question 2. Déterminer la valeur de :

a) 5! + 3!
b) 6! – 4!
c) 8! – 7! + 1! – 0!


Question 3. Résoudre les opérations :

a) 8!. 8!
b) 5! – 2!. 3!
c) 4!. (1 + 0)!


Question 4. Calculer les divisions entre factorielles :

Le) \dpi{120} \frac{10!}{9!}

B) \dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}

ç) \dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}


Question 5. Étant \dpi{120} a\in \mathbb{Z}, \dpi{120} a> 0, Express \dpi{120} (a+5) ! de l'autre côté \dpi{120} un!


Question 6. Simplifiez les ratios suivants :

Le) \dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}

B) \dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}

ç) \dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}


Question 7. Résous l'équation:

\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2) !

Question 8. Simplifiez le quotient :

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x+1)! + x !}

Résolution de la question 1

a) La factorielle de 4 est donnée par :

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

b) La factorielle de 5 est donnée par :

5! = 5. 4. 3. 2. 1

Comme 4. 3. 2. 1 = 4!, on peut réécrire 5! Par ici:

5! = 5. 4!

On a déjà vu ça 4! = 24, donc :

5! = 5. 24 = 120

c) La factorielle de 6 est donnée par :

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1

Comme 5. 4. 3. 2. 1 = 5!, on peut réécrire 6! comme suit:

6! = 6. 5! = 6. 120 = 720

d) La factorielle de 7 est donnée par :

7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1

Comme 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6!, on peut réécrire 7! Par ici:

7! = 7. 6! = 7. 720 = 5040

Résolution de la question 2

a) 5! + 3! = ?

Lors de l'addition ou de la soustraction de nombres factoriels, nous devons calculer chaque factoriel avant d'effectuer l'opération.

Comme 5! = 120 et 3! = 6, il faut donc :

5! + 3! = 120 + 6 = 126

b) 6! – 4! = ?

Comme 6! = 720 et 4! = 24, il faut :

6! – 4! = 720 – 24 = 696

c) 8! – 7! + 1! – 0! = ?

Comme 8! = 40320, 7! = 5040, 1! = 1 et 0! = 1, il faut :

8! – 7! + 1! – 0! = 40320 – 5040 + 1 – 1 = 35280

Résolution de la question 3

a) 8!. 8! = ?

Dans la multiplication de nombres factoriels, nous devons calculer les factorielles puis effectuer la multiplication entre elles.

Comme 8! = 40320, il faut donc :

8!. 8! = 40320. 40320 = 1625702400

b) 5! – 2!. 3! = ?

Comme 5! = 120, 2! = 2 et 3! = 6, il faut :

5! – 2!. 3! = 120 – 2. 6 = 120 – 12 = 108

Découvrez quelques cours gratuits
  • Cours d'éducation inclusive en ligne gratuit
  • Bibliothèque de jouets en ligne gratuite et cours d'apprentissage
  • Cours de jeux de mathématiques en ligne gratuit dans l'éducation de la petite enfance
  • Cours d'ateliers culturels pédagogiques en ligne gratuits

c) 4!. (1 + 0)! = 4!. 1! = ?

Comme 4! = 24 et 1! = 1, il faut donc :

4!. 1! = 24. 1 = 24

Résolution de la question 4

Le) \dpi{120} \frac{10!}{9!} = ?

En divisant des nombres factoriels, nous devons également calculer les factorielles avant de résoudre la division.

Comme 10! = 3628800 et 9! = 362880, donc, \dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{3628800}{362880} = 10.

Cependant, en division, nous pouvons simplifier les factorielles, en annulant des termes égaux au numérateur et au dénominateur. Cette procédure facilite de nombreux calculs. Voir:

Comme 10! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 10. 9!, il faut :

\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{10\cdot \annuler{9!}}{\annuler{9!}} = 10

B) \dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = ?

\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\annuler {4!}} = 30

ç) \dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = ?

\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = \frac{20!}{(19 + 1 - 1)!} = \frac{20!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\ annuler{19!}} = 20

Résolution de la question 5

Se souvenir que \dpi{120} n! = n. (n - 1) !, on peut réécrire \dpi{120} (a+5) ! Par ici:

\dpi{120} (a+5)! = (a + 5). (a + 5 - 1)! = (a + 5). (un + 4) !

Suite à cette procédure, nous devons :

\dpi{120} (a+5)! = (a + 5). (un + 4). (un + 3). (a+2). (un + 1). Le!

Résolution de la question 6

Le) \dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = ?

On peut réécrire le numérateur comme suit :

\dpi{120} (n+1)! = (n+1).(n+1 - 1)! = (n+1).n!

De cette façon, nous avons pu annuler le terme \dpi{120} n!, en simplifiant le quotient :

\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1).\annuler{n!}}{\annuler{n!}} = n+1

B) \dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = ?

On peut réécrire le numérateur comme suit :

\dpi{120} n! = n.(n-1) !

Ainsi, nous avons pu annuler le terme \dpi{120} n!, en simplifiant le quotient :

\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n. \annuler{(n-1)!}}{\annuler{(n-1)!}} = n

ç) \dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)} = ?

On peut réécrire le numérateur comme suit :

\dpi{120} (n+3)! = (n+3).(n+2).(n+1). non!

Ainsi, nous pouvons annuler certains termes du quotient :

\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}= \frac{\annuler{(n+3).(n+) 2).(n+1)}.n!}{\annuler{(n+3).(n+2).(n+1)}} = n!

Résolution de la question 7

résous l'équation \dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2) ! signifie trouver les valeurs de \dpi{120} x pour laquelle l'égalité est vraie.

Commençons par décomposer les termes avec des factorielles, pour tenter de simplifier l'équation :

\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2) !
\dpi{120} \Rightarrow 12x! + 5(x + 1).x! = (x + 2).(x+1).x!

divisant les deux côtés par \dpi{120} x !, nous avons réussi à éliminer la factorielle de l'équation :

\dpi{120} \frac{12\annuler{x!}}{\annuler{x!}} + \frac{5(x + 1).\annuler{x!}}{\annuler{x!}} = \frac{(x + 2).(x+1).\annuler{x!}}{\annuler{x!}}
\dpi{120} \Rightarrow 12 + 5(x + 1) = (x + 2).(x+1)

En multipliant les termes entre parenthèses et en arrangeant l'équation, il faut :

\dpi{120} 12 + 5x + 5 = x^2 + x + 2x + 2
\dpi{120} x^2 - 2x - 15 = 0

C'est un équation du 2e degré. Du Formule Bhaskara, on détermine les racines :

\dpi{120} x = 5 \, \mathrm{ou}\, x = -3

Par définition de factorielle, \dpi{120} x ne peut pas être négatif, alors, \dpi{120} x = 5.

Résolution de la question 8

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x+1)! + x !}

Comme \dpi{120} (x+2)! = (x+2).(x+1).x! et \dpi{120} (x+1)! = (x+1).x!, on peut réécrire le quotient sous la forme :

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (x + 1).x! + x !}

Comme les trois parties du dénominateur ont le terme \dpi{120} x !, nous pouvons le mettre en surbrillance et annuler avec \dpi{120} x ! qui apparaît au numérateur.

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot \cancel{x!}}{[(x+2).(x+1) + (x + 1) + 1].\cancel{ X!}}

Maintenant, nous effectuons les opérations qui restent au dénominateur :

\dpi{120} (x+2).(x+1) + (x + 1) + 1 = x^2 + x +2x+2 +(x+1) + 1 = x^2 +4x +4

Donc nous avons:

\dpi{120} \frac{(x+2)^3}{x^2 + 4x + 4}

Comme \dpi{120} x^2 + 4x + 4 = (x +2)^2, alors, le quotient peut être simplifié :

\dpi{120} \frac{(x+2)^{\annuler{3}}}{\annuler{(x+2)^2}}=x +2

Vous pouvez également être intéressé :

  • Opérations factorielles
  • disposition et combinaison
  • analyse combinatoire
  • exercices de statistiques
  • Exercices de probabilité

Le mot de passe a été envoyé à votre adresse e-mail.

Utiliser des relations trigonométriques

Utiliser des relations trigonométriques

À relations trigonométriques sont des formules qui relient les angles et les côtés d'un triangle ...

read more
Zone de couronne circulaire

Zone de couronne circulaire

LES couronne circulaire est une région du plan formée de deux cerclesdu même centre mais des rayo...

read more
Exercices sur la condition d'alignement en trois points

Exercices sur la condition d'alignement en trois points

Points lignés ou points colinéaires ce sont des points qui appartiennent à la même droite.Étant d...

read more