Qu'est-ce que le logarithme ?

Logarithme est défini comme une opération contraire à potentialisation ou exponentielle.

En potentialisation, on connaît la base et l'exposant et on veut calculer une puissance. Dans le logarithme, on connaît la base et la puissance et on veut connaître la valeur de l'exposant.

Alors, sachez que le logarithme n'est pas le radiation, puisque dans ce dernier on cherche la valeur de base compte tenu de la puissance.

Exemple: Quelle doit être la valeur de l'exposant x pour

$\dpi{120} \mathrm{5^x = 25} ?$

Nous savons que $\dpi{120} 5^2 = 25$ , alors l'exposant x doit être égal à 2.

On peut donc dire que le logarithme de 25 en base 5 est égal à 2 :

$\dpi{120} \mathrm{log\, _5\, 25} = 2$

Voir ci-dessous pour une définition formelle du logarithme.

Définition du logarithme :

Étant donné deux nombres positifs, le et B, avec $\dpi{120} \mathrm{a\neq 1}$ , on dit que le logarithme de B à la base le est un nombre égal X si et seulement si, le élevé à X c'est pareil que B, C'est:

$\dpi{150} \mathbf{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$

Sur quoi:

le: socle
B: logarithme
X: logarithme

Exemple: Calculer la valeur de $\dpi{120} \mathrm{x}$ dans chaque cas.

Le) $\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = x}$

Par définition, il faut :

$\dpi{120} \mathrm{9^x = 81}$

Comme $\dpi{120} 9^2 = 81$ , ensuite, $\dpi{120} \mathrm{x= 2}$ . Ainsi:

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$\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = 2}$

B) $\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = x}$

Par définition, il faut :

$\dpi{120} \mathrm{2^x = 8}$

Comme $\dpi{120} 2^3 = 8$ , ensuite, $\dpi{120} \mathrm{x= 3}$ . Ainsi:

$\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = 3}$

Propriétés du logarithme

De la définition des logarithmes, nous avons les résultats immédiats suivants :

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a1 = 0}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}$

4) b = c $\dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}$

5) $\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}$

Et le propriétés du logarithme elles sont:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a (b\cdot c) = log_ab + log_ac}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_ab^c = c\cdot log_ab}$

4) $\dpi{120} \mathrm{log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}}$

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