À fonctions trigonométriquessont les fonctions sinus, cosinus et tangente. Toutes les fonctions trigonométriques rapportent la valeur de angle en degrés ou en radians avec la valeur du rapport trigonométrique, relation qui peut se faire à travers l'étude du cycle trigonométrique. Avec l'étude individuelle de chacune des fonctions trigonométriques, il est possible de faire la représentation graphique, étudiez le signe de la fonction pour chacun des quadrants, entre autres caractéristiques important.
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Que sont les fonctions trigonométriques ?
Les fonctions trigonométriques les plus courantes sont la fonction sinus, la fonction cosinus et la fonction tangente. Leur étude est liée à la cycle trigonométrique.
Pour chaque valeur d'angle, il existe une seule valeur de sinus et de cosinus. Les fonctions trigonométriques ne sont rien de plus que les relation entre l'angle et la valeur du rapport trigonométrique pour cet angle
. Rappelez-vous que la valeur de cet angle peut être donnée en radians ou en degrés et que la valeur du sinus et du cosinus est toujours un nombre réel entre -1 et 1.
Notez dans l'image que, pour chaque angle, le cosinus et le sinus admettentm une valeur. C'est à partir de l'étude de chacune des fonctions trigonométriques que l'on observe la relation entre la valeur de l'angle et la valeur du rapport trigonométrique.
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fonction cosinus
La fonction cosinus est la fonction F: R → R, dont la loi de formation est F(x) = cos(x). Comme le cosinus d'un angle est toujours un nombre entre 1 et -1, alors -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Domaine
Le domaine de la fonction cosinus est le ensemble de nombres réels, car il n'y a aucune restriction sur la valeur de x, où x est l'angle en radians. Pour chaque nombre réel, vous pouvez trouver la valeur de cos(x), donc DF= UNE.
Image
Nous savons que le contre-domaine de la fonction cosinus est l'ensemble des nombres réels, cependant, lorsque nous analysons l'image de la fonction, il est possible de voir qu'il est toujours une valeur supérieure ou égale à -1 et inférieure ou égale à 1, puisque le cycle trigonométrique a un rayon 1, donc la plus grande valeur que la fonction cosinus peut prendre est 1, et, de même, la plus petite valeur qu'elle peut prendre est -1. Je = [-1, 1]
Graphique de la fonction cosinus
Le graphique de la fonction cosinus estcontenu entre les lignes droitesy = -1 et y = 1. N'oubliez pas que cela se produit parce que l'image de la fonction est toujours un nombre compris entre -1 et 1 et a une partie croissante et une partie décroissante, comme nous pouvons le voir ci-dessous :
En faisant correspondre la valeur de l'angle avec la valeur du rapport trigonométrique, vous pouvez voir que le graphique a un comportement cyclique, c'est-à-dire que le comportement se répète toujours périodiquement. Le graphique de la fonction cosinus est appelé cosinus.
Signal
On sait que, dans le cycle trigonométrique, le le cosinus a des valeurs positivesdans les quadrants I et IV. Le premier quadrant se situe entre 0º et 90º, et le quatrième quadrant se situe entre 270º et 360º. En radians, la fonction est positive pour des valeurs de x comprises entre 0 et /2 et entre 3π/2 et 2π.
La fonction cosinus a des valeurs négativesdans les quadrants II et III, c'est-à-dire que l'angle est compris entre 90º et 270º. En radians, pour que la fonction cosinus soit négative, x est compris entre π/2 et 3π/2.
Période de la fonction cosinus
Le graphique de la fonction cosinus a une 2π période. En analysant, il est possible de voir que le graphique est contenu dans la plage de 0 à 2π. Pour les valeurs avant ou après cette plage, le graphique se répète.
Parité
La fonction cosinus est considérée comme un même fonction, car il y a une symétrie dans le graphique par rapport à l'axe des y. Lorsqu'une fonction est considérée paire, il faut F (x) = F (-x), c'est-à-dire cos (x) = cos (-x).
Arcs remarquables de la fonction cosinus
Regardons la valeur du cosinus pour les angles principaux :
Voir aussi: Sécante, cosécante et cotangente - rapports trigonométriques inverses du sinus, du cosinus et de la tangente
fonction sinus
La fonction cosinus est la fonction F: R → R, dont la loi de formation est F(x) = péché(x). Comme le sinus d'un angle, comme le cosinus, est toujours un nombre compris entre 1 et -1, alors -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
Domaine
Le domaine de la fonction sinus est l'ensemble des nombres réels. La fonction F(x) = sin (x) est défini pour tous les nombres réels, donc DF= UNE.
Image
L'image de la fonction sinus a valeur maximale en F(x) = 1 et valeur minimale lorsquef(x) = -1. L'image de la fonction est donc la plage réelle [-1, 1].
graphique de la fonction sinus
Le graphique de la fonction sinus il est également limité par les lignes horizontales y = -1 et y = 1. Le comportement est similaire à celui de la fonction sinusoïdale périodique, avec des intervalles croissants et des intervalles décroissants. Voir la représentation graphique de la fonction sinus dans le plan cartésien ci-dessous :
Le graphique de la fonction sinus est également périodique et est connu sous le nom de sinus.
Signal
Contrairement à la fonction cosinus, la fonction sinus a des valeurs positives danss quadrants I et II d'abord, c'est-à-dire pour des angles compris entre 0° et 180°. En radians, la fonction est positive pour les valeurs comprises entre 0 et .
La fonction sinus a des valeurs négativesen IIje et IV quadrants, c'est-à-dire que l'angle est compris entre 180º et 360º. En radians, pour que la fonction sinus soit négative, x est compris entre π et 2π.
Période de la fonction cosinus
Le graphique de la fonction sinus a une période de 2π. Cela signifie qu'après ou avant l'intervalle de 0 à 2π, le graphe est périodique, c'est-à-dire qu'il se répète.
Parité
La fonction sinus est considérée comme un Occupation je suispaire, car il y a une symétrie dans le graphe par rapport à la bissectrice des quadrants impairs. Lorsqu'une fonction est considérée comme impaire, nous devons F (x) = -F (x), c'est-à-dire sin (-x) = -sin (x).
Arcs notables de la fonction sinus
Regardons la valeur du sinus pour les angles principaux :
Fonction tangente
Nous savons que la tangente est la raison entre sinus et cosinus. Contrairement aux deux fonctions trigonométriques précédentes, la fonction tangente n'a ni valeur maximale ni valeur minimale. De plus, il existe des restrictions pour le domaine, mais la loi de formation de la fonction tangente est F(x) = bronzage (x).
Domaine
La fonction tangente a des restrictions pour son domaine, car elle est formée par le rapport entre le sinus et le cosinus, il n'y a pas de valeurs pour la tangente lorsque cos (x) = 0. Pesant dans le cycle trigonométrique de 0º à 360º, la fonction tangente n'est pas définie pour les angles 90º et 270º, car ce sont les valeurs où le cosinus est égal à 0. Lorsqu'il existe des angles supérieurs à un tour complet, tous ceux dont la valeur de cosinus est 0 ne font pas partie du domaine de la fonction cosinus.
Image
Contrairement à la fonction sinus et à la fonction cosinus, l'image de la fonction tangente est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire qu'il n'est pas limité et n'a pas de valeur maximale ou minimale. Je = R
Graphique de la fonction tangente
La fonction tangente est également périodique comme les fonctions sinus et cosinus, c'est-à-dire qu'elle est toujours répétée. Quand on compare :
Signal
la fonction tangente a une valeur positive pour les quadrants impairs, c'est-à-dire je et III quadrants. Pour les angles entre 0º et 90º et les angles entre 180º et 270º, la fonction a des valeurs positives. En radians, la valeur de x doit être comprise entre 0 et /2 ou π et 3π/2.
Cours du temps
La période de la fonction tangente est également différente des fonctions sinus et cosinus. O la période de la fonction tangente est.
Parité
la fonction tangente é une fonction étrange, car tan(-x) = -tan (x), il y a donc une symétrie dans le graphique par rapport à l'origine du plan cartesien.
Arcs remarquables de la fonction tangente
Regardons la valeur de la tangente pour les angles principaux :
Voir aussi: Comment trouver le sinus et le cosinus des angles supplémentaires ?
exercices résolus
Question 1 - (Enem 2017) Les rayons du soleil atteignent la surface d'un lac, formant un angle x avec sa surface, comme le montre la figure.
Sous certaines conditions, on peut supposer que l'intensité lumineuse de ces rayons, à la surface du lac, être donné approximativement par I(x) = k · sin(x), k étant une constante, et en supposant que X est compris entre 0° et 90º.
Lorsque x = 30º, l'intensité lumineuse est réduite à quel pourcentage de sa valeur maximale ?
A) 33%
B) 50 %
C) 57%
D) 70 %
E) 86%
Résolution
Variante B
Dans la plage de 0º à 90º, la fonction sinus a sa valeur la plus élevée lorsque x = 90º, nous devons donc :
i = k · sin (90º)
i = k · 1
je = k
Maintenant, lorsque x = 30º, nous devons :
i = k · sans (30e)
i = k · 1/2
je = k/2
A noter que l'intensité i a été réduite de moitié, soit 50%.
Question 2 - (Enem 2015) Selon l'Institut brésilien de géographie et de statistique (IBGE), les produits saisonniers sont ceux qui présentent des cycles bien définis de production, de consommation et de prix. En bref, il y a des périodes de l'année où sa disponibilité sur les marchés de détail est rare, avec des prix élevés, parfois il est abondant, avec des prix plus bas, ce qui se produit dans le mois de production maximale de la récolter. A partir d'une série historique, il a été observé que le prix P, en reais, du kilogramme d'un certain produit saisonnier peut être décrit par la fonction :
Où x représente le mois de l'année, où x = 1 associé au mois de janvier, x = 2, au mois de février, et ainsi de suite, jusqu'à x = 12, associé au mois de décembre.
A la récolte, le mois de production maximale de ce produit est
A) Janvier.
B) Avril.
C) juin.
D) Juillet.
E) Octobre.
Résolution
Variante D
La récolte admet une production maximale lorsque le prix est le plus bas, on sait que la fonction cosinus prend sa valeur minimale lorsque cos(x) = -1.
L'angle qui a une valeur cos de -1 est l'angle. Donc l'argument angle doit être égal à, donc nous devons :
Le mois 7 est le mois de juillet.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm