nombres réels c'est le nom donné à l'ensemble numérique le plus connu et utilisé par tous, car tout nombre entier ou décimal appartient également à cet ensemble. Sa définition la plus utilisée est la suivante: L'union entre l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble des nombres irrationnels.
Quelques exemples de nombres réels :
1 - L'ensemble des nombres naturels. Tout nombre naturel est aussi un nombre réel, puisque les nombres naturels sont aussi des nombres rationnels.
2 – L'ensemble des nombres entiers. Tout nombre entier est aussi un nombre réel, puisque les nombres entiers sont aussi des nombres rationnels.
3 – Nombres décimaux. Tout nombre décimal est aussi un nombre réel, puisque les nombres décimaux appartiennent soit à l'ensemble des nombres rationnels, soit à l'ensemble des nombres irrationnels.
4 – Racines. Chaque racine, carrée ou non, est un nombre rationnel ou irrationnel. Il appartient donc à l'ensemble des nombres réels.
Propriétés des nombres réels
O ensemble de nombres réels a les propriétés suivantes. Étant donné les nombres réels a, b et c :
1 - Commutativité: a + b = b + a
2 – Associativité: (a + b) + c = a + (b + c)
3 – Existence d'élément neutre de la somme: a + 0 = a
4 – Existence d'un élément inverse de la somme: a + (– a) = 0
5 – Commutativité: a·b = b·a
6 – Associativité: (a·b)·c = a·(b·c)
7 – Existence d'un élément neutre de multiplication: a·1 = a
8 – Existence d'un élément inverse de multiplication: a·(– a)= 1, où – a = 1/a
9 – Propriété distributive: a (b + c) = a·b + a·c
Pour comprendre le sens de la définition "union entre l'ensemble des nombres rationnels et irrationnels», il est important de connaître la notion d'union, ainsi que les éléments appartenant à chacun de ces ensembles.
Union entre ensembles :
L'union est un cas de opération entre les séries. Les éléments qui appartiennent à l'union entre deux ensembles appartiennent à un ensemble ou alors à un autre. Le mot ou alors indique que tous les éléments des deux ensembles appartiennent à l'union entre eux, mais aucun élément n'est répété dans l'union.
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Par exemple: Soit les ensembles A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, l'union entre A et B est représentée par AUB = {1, 2, 3, 4, 5} et désigne les éléments qui appartiennent à A ou alors à B.
Ensemble de nombres rationnels :
L'ensemble des nombres rationnels est formé de tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction. Il existe trois types de nombres qui correspondent à cette définition :
1 - nombres entiers
2 – nombres décimaux finis
3 – les dîmes périodiques
En effet, tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction tant que le nombre entier lui-même est le numérateur et 1 est le dénominateur. A partir de cette fraction, il est possible de trouver des fractions infinies avec le même résultat, en multipliant simplement le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Les nombres décimaux finis, d'autre part, peuvent être transformés en fractions en complétant l'étape précédente et en multipliant le fraction par une puissance de 10, où l'exposant est égal au nombre de décimales de la virgule fini.
Les dîmes périodiques, à leur tour, peut s'écrire sous forme de fraction en utilisant un appareil qui implique des équations et des systèmes d'équations.
Elles sont sous-ensembles de l'ensemble des nombres rationnels: L'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des entiers. Par conséquent, les nombres naturels et entiers sont également des nombres réels.
Ensemble de nombres irrationnels :
L'ensemble des nombres irrationnels est compléter lel'ensemble des rationnels. Cela signifie que les nombres irrationnels sont l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. Ainsi, tout nombre qui ne peut pas être écrit sous forme de fraction est un nombre irrationnel.. Les nombres qui correspondent à cette définition sont :
1 – nombres décimaux infinis non périodiques ;
2 – racines inexactes.
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. « Que sont les vrais nombres? »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-reais.htm. Consulté le 27 juin 2021.
