dîmespériodique ce sont des nombres infinis et périodiques. Infini, car ils n'ont pas de fin, et périodiques, parce que certaines parties d'entre elles sont répétées, c'est-à-dire qu'elles ont un point. De plus, les nombres décimaux périodiques peuvent être représentés sous forme fractionnaire, c'est-à-dire que nous pouvons dire qu'ils sont des nombres rationnels.
si diviser le numérateur d'un fraction par le dénominateur et nous trouvons un dixième, alors cette fraction sera appelée fraction génératrice. Les dîmes peuvent être classées comme simples et composées.
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Types de dîmes périodiques
dîme périodique simple
É caractérisé par l'absence d'antipériode, c'est-à-dire que le point (partie répétitive) vient juste après la virgule. Voir quelques exemples :
Exemples
Le) 0,32323232…
Cours du temps → 32
B) 0,111111…
Cours du temps → 1
ç) 0,543543543…
Cours du temps → 543
ré) 6,987698769876…
Cours du temps → 9876
Observation: On peut représenter une décimale périodique avec une barre oblique sur la période, par exemple le nombre 6.98769876... elle peut s'écrire comme suit :
dîme périodique composée
C'est celui qui a antipériode, c'est-à-dire qu'entre la virgule et le point il y a un nombre qui ne se répète pas.
Exemples
Le) 2,3244444444…
Cours du temps → 4
Antipériode → 32
B) 9,123656565…
Cours du temps → 65
Antipériode → 123
ç) 0, 876547654…
Cours du temps → 7654
Antipériode → 8
fraction génératrice
Les dîmes périodiques peuvent être représenté sous forme de fraction, ce qui les rend nombres rationnels. Lorsqu'une fraction génère une décimale périodique, elle est appelée fraction génératrice. Le processus pour trouver le fraction génératrice c'est simple, suivez pas à pas :
Exemple 1
La dîme utilisée dans l'exemple sera: 0,323232…
Étape 1 – Nommez la dîme un inconnu.
x = 0,323232...
Étape 2 - Utilisez le principe d'équivalence, c'est-à-dire que si nous opérons d'un côté de l'égalité, nous devons effectuer la même opération de l'autre côté pour maintenir l'équivalence. Alors multiplions la dîme par un puissance de 10 jusqu'à ce que le point soit avant la virgule.
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Notez que la période dans ce cas est de 32, nous devons donc faire la multiplication par 100. Notez également que le nombre de chiffres dans la période nous donne le nombre de zéros que la puissance de 10 doit avoir. Ainsi:
100 · x = 0,323232... · 100
100x = 32.32332232...
Étape 3 – Soustraire l'équation de l'étape 2 de l'équation de l'étape 1.
En soustrayant terme à terme, on a :
100x - x = 32,323232... - 0,323232...
99x = 32
Regardez maintenant l'exemple où la méthode des dîmes composées est appliquée.
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Exemple 2
La dîme composite utilisée sera: 9,123656565….
Avant d'effectuer la première étape, notez que :
9,123656565… = 9 + 0, 123656565…
Travaillons uniquement avec la dîme, et à la fin, ajoutez simplement 9 à la fraction génératrice.
Étape 1 – Nommez la dîme un inconnu.
x = 0,123656565…
Étape 2 – Multipliez-le par une puissance de 10 jusqu'à ce que la partie non périodique soit avant la virgule. Dans ce cas, la multiplication doit être par 100, car la partie non périodique a trois chiffres.
100 · x = 0,123656565… ·100
100x = 123,656565…
Étape 3 – Multipliez-le à nouveau par une puissance de 10 jusqu'à ce que la partie périodique soit avant la virgule. Puisque la partie périodique (65) a deux chiffres, nous multiplions les deux côtés par 100, comme ceci :
100 ·100x = 123,656565… ·100
10000x = 12365,656565…
Étape 4 – Enfin, soustrayez l'équation obtenue à l'étape 3 de l'équation obtenue à l'étape 2.
10000x – 100x = 12365,656565… – 123,656565…
9 900 x = 12 242
N'oubliez pas que vous devez toujours ajouter 9 à cette fraction, donc :
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:
LUIZ, Robson. « Qu'est-ce que la dîme périodique? »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-dizima-periodica-e-fracao-geratriz.htm. Consulté le 27 juin 2021.
