Fonction du 2e degré ou fonction quadratique

LES fonction du 2e degré ou fonction quadratique est Occupation domaine réel, c'est-à-dire tout nombre réel peut être le X et, à chaque réel x, on associe un nombre de la forme ax² + bx + c.

En d'autres termes, la fonction quadratique f est définie par :

Nous verrons, ci-dessous, comment calculer ce type de fonction, en rappelant la formule de Bhaskara pour trouver les racines de la fonction, en plus de connaître le type de graphique, ses éléments et comment le dessiner sur la base de l'interprétation des données obtenues par le solution.

La fonction quadratique forme une parabole sur un plan cartésien.

Qu'est-ce qu'une fonction de 2e degré ?

Une fonction f: R à → est appelée fonction du 2e degré ou fonction quadratique lorsqu'il existe a, b, c € R avec a ≠ 0, de sorte que f(x) = hache² + bx + c, pour tout x € R.

Exemples:

• f(x) = 6x² - 4x + 5 → le = 6; B = -4; ç = 5.
• f(x) = x² - 9 → le = 1; B = 0; ç = -9.
• f(x) = 3x² +3x → le = 3; B = 3; ç = 0.
• f(x) = x² – x → le = 1; B = -1; ç = 0.

pour chaque nombre réel

X, nous devons remplacer et effectuer les opérations nécessaires pour trouve ta photo. Voir l'exemple suivant :

Déterminons l'image du réel -2 de la fonction f(x) = 6x² - 4x + 5. Pour ce faire, remplacez simplement le nombre réel donné dans la fonction, comme ceci :

f(-2) = 6(-2)² – 4(-2) +5

f (-2) = 6(4) + 8 +5

f (-2) = 24 + 8 + 5

f(-2) = 37

Par conséquent, l'image du nombre -2 est 27, ce qui donne la paire ordonnée (-2; 37).

Lire aussi: Équation du 2e degré: l'équation qui a un exposant 2 inconnu

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Graphique de la fonction quadratique

Lors de l'esquisse du graphique de fonction quadratique, nous avons trouvé une courbe, que nous appellerons parabole. Votre la concavité dépend du coefficientle de fonction f. Lorsque la fonction a le coefficient le supérieur à 0, la parabole sera concave vers le haut; lorsque le coefficient le est inférieur à 0, la parabole sera concave vers le bas.

Racines de la fonction quadratique

Les racines d'une fonction quadratique fournissent les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de la fonction. plan cartesien. Quand on considère une fonction quadratique de la forme y = ax² + bx + c et on prend d'abord le x = 0, trouvons l'intersection avec l'axe O_Oui. Maintenant, si nous prenons le y = 0, trouvons l'intersection avec l'axe O_X,c'est-à-dire que les racines de l'équation fournissent l'intersection avec l'axe X. Voir un exemple :

a) y = x² – 4x

Prenons x = 0 et substituons-le dans la fonction donnée. Donc, y = 0² – 4 (0) = 0. Notez que lorsque x = 0, nous avons y = 0. Nous avons donc la paire ordonnée suivante (0, 0). Cette paire ordonnée donne l'ordonnée à l'origine. Maintenant, en prenant y = 0 et en le substituant dans la fonction, nous obtiendrons ce qui suit :

X² – 4x = 0

x.(x - 4) = 0

x' = 0

x''-4 = 0

x'' = 4

On a donc deux points d'intersection (0, 0) et (4, 0) et, dans le plan cartésien, on a :

Réalisez que nous pouvons utiliser la relation de bhaskara pour trouver les zéros de la fonction. Avec cela, nous gagnons un outil très important: en regardant le discriminant, nous pouvons savoir en combien d'endroits le graphe coupe l'axe X.

• Si le delta est supérieur à zéro (positif), le graphique "coupe" l'axe des x en deux points, c'est-à-dire que nous avons x' et x''.
• Si le delta est égal à zéro, le graphique « coupe » l'axe des abscisses en un point, c'est-à-dire x’ = x’’.
• Si le delta est inférieur à zéro (négatif), le graphique ne « coupe » pas l'axe des x car il n'y a pas de racines.

exercices résolus

Question 1 - Soit la fonction f (x) = -x² + 2x – 4. Déterminer:

a) L'intersection avec l'axe O_Y.

b) L'intersection avec l'axe O_X.

c) Trace le graphique de la fonction.

Solution:

a) Pour déterminer l'intersection avec l'axe O_Oui , il suffit de prendre la valeur de x =

b) 0. -(0)² +2(0) – 4

0 + 0 – 4

-4

Nous avons donc la paire ordonnée (0, -4).

c) Pour trouver l'intersection avec l'axe O_X, il suffit de prendre la valeur de y = 0. Ainsi:

-X² +2x – 4 = 0

En utilisant la méthode de Bhaskara, nous devons :

= b² - 4ac

Δ = (2)² - 4(-1)(-4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

Comme la valeur du discriminant est inférieure à zéro, la fonction ne coupe pas l'axe X.

d) Pour tracer le graphe, il faut regarder les points d'intersection et analyser la concavité de la parabole. Puisque a < 0, la parabole sera concave vers le bas. Ainsi:

par Robson Luiz
Professeur de mathématiques

Calculer la valeur de k telle que la fonction f(x) = 4x² – 4x – k n'ait pas de racine, c'est-à-dire que le graphe de la parabole n'ait aucun point commun avec l'axe des x.

Déterminer les valeurs de m pour que la fonction f (x) = (m – 2)x² – 2x + 6 prenne des racines réelles.