Étant donné un cercle de centre O, de rayon r et de deux points A et B appartenant au cercle, on a que la distance entre les points marqués est un arc de cercle. La longueur d'un arc est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre, plus l'angle est grand, plus la longueur de l'arc est grande; et plus l'angle est petit, plus la longueur de l'arc est courte.
Pour déterminer la longueur d'un cercle, nous utilisons l'expression mathématique suivante: C = 2*π*r. Le tour complet dans un cercle est représenté par 360º. Faisons une comparaison entre la longueur de circonférence en mesure linéaire (ℓ) et en mesure angulaire (α), notez:
linéaire |
angulaire |
2*π*r |
360º |
ℓ |
α |
Cette expression peut être utilisée pour déterminer la longueur d'arc d'un cercle de rayon r et d'angle au centre en degrés. Dans ces cas, utilisez π = 3,14.
Si l'angle au centre est donné en radians, on utilise l'expression suivante: = α * r.
Exemple 1
Déterminer la longueur d'un arc d'angle au centre égal à 30° contenu dans une circonférence de rayon 2 cm.
= * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
= 1,05 cm
La longueur de l'arc sera de 1,05 centimètre.
Exemple 2
L'aiguille des minutes d'une horloge murale mesure 10 cm. Combien d'espace la main parcourra-t-elle après 30 minutes?
Voir la photo de l'horloge:
= * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
= 31,4 cm
L'espace couvert par l'aiguille des minutes sera de 31,4 centimètres.
Exemple 3
Déterminer la longueur d'un arc d'angle au centre mesurant π/3 contenu dans une circonférence de 5 cm de rayon.
= α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
= 5,23 cm
Exemple 4
Un pendule de 15 cm de long oscille entre A et B sous un angle de 15°. Quelle est la longueur de la trajectoire décrite par son extrémité entre A et B?
= * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
= 3,9 cm
La longueur de la trajectoire entre A et B est de 3,9 centimètres.
par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
Trigonométrie - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm
