Progression arithmétique: qu'est-ce que c'est, termes, exemples

LES progression arithmétique (PA) est séquence numérique que nous utilisons pour décrire le comportement de certains phénomènes en mathématiques. Dans une AP, le la croissance ou la décroissance est toujours constante, c'est-à-dire que d'un terme à l'autre, la différence sera toujours la même, et cette différence s'appelle raison.

À la suite de la comportement prévisible d'une progression, vous pouvez le décrire à partir d'une formule connue sous le nom terme général. Pour cette même raison, il est également possible de calculer la somme des termes d'un PA à l'aide d'une formule spécifique.

A lire aussi: Progression géométrique - comment calculer?

Qu'est-ce qu'un PA?

Comprendre qu'une AP est une séquence de termes dans laquelle le la différence entre un terme et son précédent est toujours constante, pour décrire cette progression à partir d'une formule, il faut trouver le terme initial, ou c'est-à-dire le premier terme d'une progression, et sa raison, qui est cette différence constante entre les termes.

D'une manière générale, l'AP s'écrit comme suit :

(Le₁, une₂,Le₃, une₄,Le₅, une₆,Le₇, une₈)

Le premier terme est le un₁ et, de là, à la ajouter la raison r, trouvons les termes successeurs.

le₁ + r = un₂
le₂ + r = un₃
le₃ + r = un₄

...

Ainsi, pour écrire la progression arithmétique, nous devons savoir qui est son premier terme et pourquoi.

Exemple:

Écrivons les six premiers termes d'un PA sachant que son premier terme est 4 et son rapport est égal à 2. connaissant le₁ =4 et r = 2, nous concluons que cette progression commence à 4 et augmente de 2 à 2. Par conséquent, nous pouvons décrire ses termes.

le₁ = 4

le₂ = 4+ 2 = 6

le₃ = 6 + 2 = 8

le₄ = 8 + 2 = 10

le₅= 10 + 2 = 12

le₆ = 12 + 2 =14

Ce BP est égal à (4,6,8,10,12,14…).

Terme général d'un PA

Décrire l'AP à partir d'une formule nous permet de trouver facilement n'importe lequel de ses termes. Pour trouver n'importe quel terme d'un PA, on utilise la formule suivante :

lenon= un1 + r·(n-1)

N→ est la position du terme ;

le₁→ est le premier terme ;

r → raison.

Exemple:

Trouve le terme général de l'AP (1,5,9,13,…) et les 5e, 10e et 23e mandats.

1ère étape : trouver la raison.

Pour trouver le rapport, calculez simplement la différence entre deux termes consécutifs: 5 – 1 = 4; alors, dans ce cas, r = 4 .

2ème étape : trouver le terme général.

Comment sait-on que le₁= 1 et r = 4, substituons dans la formule.

le_non= un₁ + r (n - 1)

le_non=1 + 4 (n - 1)

le_non=1 + 4n - 4

le_non= 4n – 3 → terme général de PA

3ème étape : connaissant le terme général, calculons le 5e, le 10e et le 23e terme.

5e terme → n = 5
le_non=4n - 3
le₅=4·5 – 3
le₅=20 – 3
le₅=17

10e terme → n = 10
le_non=4n - 3
le₁₀=4·10 – 3
le₁₀=40 – 3
le₁₀=37

23e terme → n = 23
le_non=4n - 3
le₂₃=4·23 – 3
le₂₃=92 – 3
le₂₃=89

Types de progressions arithmétiques

Il y a trois possibilités pour un PA. Elle peut être croissante, décroissante ou constante.

• Croissance

Comme son nom l'indique, une progression arithmétique augmente lorsque, à mesure que les termes augmentent, leur valeur augmente également., c'est-à-dire que le deuxième terme est supérieur au premier, le troisième est supérieur au deuxième, et ainsi de suite.

le₁ < à₂ < à₃ < à₄ < …. non

Pour que cela se produise, le rapport doit être positif, c'est-à-dire qu'un PA augmente si r > 0.

Exemples:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• descendant

Comme son nom l'indique, une progression arithmétique est décroissante lorsque, à mesure que les termes augmentent, leur valeur diminue, c'est-à-dire que le deuxième terme est inférieur au premier, le troisième est inférieur au deuxième, et ainsi de suite.

le₁ > le₂ > le₃ > le₄ > …. > le_non

Pour que cela se produise, le rapport doit être négatif, c'est-à-dire qu'un PA augmente si r < 0.

Exemples:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• Constant

Une progression arithmétique est constante lorsque, à mesure que les termes augmentent, la valeur reste la même., c'est-à-dire que le premier terme est égal au deuxième, qui est égal au troisième, et ainsi de suite.

le₁ = le₂ = le₃ = le₄ = …. = un_non

Pour qu'un PA soit constant, le rapport doit être égal à zéro, c'est-à-dire r = 0.

Exemples:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

Voir aussi: Produit des termes d'un PG - quelle est la formule ?

Propriétés d'un PA

• 1ère propriété

Quel que soit le terme d'un PA, le moyenne arithmétique entre son successeur et son prédécesseur est égal à ce terme.

Exemple:

Considérez la progression (-1, 2, 5, 8, 11) et le terme 8. La moyenne entre 11 et 5 est égale à 8, c'est-à-dire que la somme du successeur avec le prédécesseur d'un nombre dans l'AP est toujours égale à ce nombre.

• 2ème propriété

La somme des termes équidistants est toujours égale.

Exemple:

Somme des termes d'une AP

Supposons que nous voulions ajouter les six termes BP indiqués ci-dessus: (16,13,10,7,4,1). On peut simplement ajouter leurs termes – auquel cas il y a peu de termes, c'est possible – mais si c'est une chaîne plus longue, vous devez utiliser la propriété. Nous savons que la somme des termes équidistants est toujours égale, comme nous l'avons vu dans la propriété, donc si nous effectuons cette ajouter une fois et multiplier par la moitié le nombre de termes, nous avons la somme des six premiers termes du POÊLE.

Notez que, dans l'exemple, nous calculerions la somme du premier et du dernier, qui est égale à 17, multipliée par la moitié du nombre de termes, c'est-à-dire 17 fois 3, qui est égal à 51.

La formule de somme des termes d'un PA il a été développé par le mathématicien Gauss, qui a réalisé cette symétrie dans les progressions arithmétiques. La formule s'écrit comme suit :

s_non → somme de n éléments

le₁ → premier terme

le_non → dernier terme

n → nombre de termes

Exemple:

Calculer la somme des nombres impairs de 1 à 2000.

Résolution:

On sait que cette séquence est une PA (1,3,5, …. 1997, 1999). Effectuer la somme serait beaucoup de travail, donc la formule est assez pratique. De 1 à 2000, la moitié des nombres sont impairs, il y a donc 1000 nombres impairs.

Données:

n→ 1000

le₁ → 1

le_non → 1999

Accédez également à: Somme d'un PG fini – comment faire ?

Interpolation des moyennes arithmétiques

Connaissant deux termes non consécutifs d'une progression arithmétique, il est possible de trouver tous les termes qui se situent entre ces deux nombres, ce que nous appelons interpolation de moyennes arithmétiques.

Exemple:

Interpolons 5 moyennes arithmétiques entre 13 et 55. Cela signifie qu'il y a 5 nombres entre 13 et 55 et qu'ils forment une progression.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

Pour trouver ces nombres, il faut trouver la raison. On connaît le premier terme (le₁ = 13) et aussi le 7ème terme (le₇= 55), mais on sait que :

le_non = le₁ + r ·(n – 1 )

Quand n = 7 → a_non= 55. On connaît aussi la valeur d'un₁=13. Donc, en le remplaçant dans la formule, nous devons :

55 = 13 + r ·( 7 – 1 )

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42:6

r = 7.

Connaissant la raison, on peut trouver des termes qui se situent entre 13 et 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

La suite de 1 à 10 est une progression arithmétique de rapport 1.

exercices résolus

Question 1 - (Enem 2012) - Jouer aux cartes est une activité qui stimule le raisonnement. Un jeu traditionnel est le Solitaire, qui utilise 52 cartes. Initialement, sept colonnes sont formées avec les cartes. La première colonne a une carte, la deuxième a deux cartes, la troisième a trois cartes, la quatrième a quatre cartes, et ainsi de suite successivement à la septième colonne, qui a sept cartes, et ce qui constitue la pile, qui sont les cartes inutilisées dans le Colonnes.

Le nombre de cartes qui composent la pile est :

A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.

Résolution

Variante B.

Calculons d'abord le nombre total de cartes qui ont été utilisées. Nous travaillons avec un AP dont le premier terme est 1 et le ratio est également 1. Ainsi, en calculant la somme des 7 lignes, le dernier terme est 7 et la valeur de n est également 7.

Sachant que le nombre total de cartes utilisées était de 28 et qu'il y a 52 cartes, la pile est constituée de :

52 - 28 = 24 cartes

Question 2 - (Enem 2018) La mairie d'une petite ville de l'intérieur décide de mettre des poteaux d'éclairage autour du le long d'une route droite qui commence à une place centrale et se termine à une ferme de la région. rural. La place étant déjà éclairée, le premier poteau sera placé à 80 mètres de la place, le deuxième à 100 mètres, le troisième à 120 mètres, et ainsi de suite. successivement, en gardant toujours une distance de 20 mètres entre les poteaux, jusqu'à ce que le dernier poteau soit placé à une distance de 1 380 mètres du carré.

Si la ville peut payer un maximum de 8 000,00 R$ par publication publiée, le montant le plus élevé que vous pouvez dépenser pour publier ces publications est :

A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) 528 000,00 R$.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.

Résolution

Variante C.

On sait que des poteaux seront placés tous les 20 mètres, soit r = 20, et que le premier terme de cette PA est 80. Aussi, nous savons que le dernier terme est 1380, mais nous ne savons pas combien de termes il y a entre 80 et 1380. Pour calculer ce nombre de termes, utilisons la formule du terme général.

Données: un_non = 1380; le₁=80; et r = 20.

le_non= un₁ + r·(n-1)

660 postes seront placés. Si chacun coûtera un maximum de 8 000 R$, le montant le plus élevé pouvant être dépensé pour le placement de ces postes est :

66· 8 000 = 528 000

Par Raul Rodrigues de Oliveira 

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm