Une matrice est triangulaire lorsque les éléments au-dessus de la diagonale principale ou les éléments en dessous de la diagonale principale sont tous nuls. Il existe deux classifications possibles pour ce type de matrice: la première est lorsque les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls, ce qui met en place une matrice triangulaire inférieure; la seconde est lorsque les éléments en dessous de la diagonale principale sont nuls, mettant en place une matrice triangulaire supérieure.
Pour calculer le déterminant d'une matrice triangulaire par la règle de Sarrus, il suffit d'effectuer la multiplication diagonale principale, puisque les autres multiplications seront toutes égales à zéro.
A lire aussi: Tableau — qu'est-ce que c'est et types existants
Types de matrices triangulaires
Pour comprendre ce qu'est une matrice triangulaire, il est important de se rappeler quelle est la diagonale principale d'une matrice carrée, c'est-à-dire la matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale principale de la matrice est constituée des termes a.
je, où i = j, c'est-à-dire qu'il s'agit des termes dans lesquels le numéro de ligne est égal au numéro de colonne.Exemple:
Comprendre ce qu'est une matrice carrée et quelle est sa diagonale principale, sachons ce qu'est une matrice triangulaire et ses classifications. Il existe deux classifications possibles pour la matrice triangulaire: lematrice triangulaire inférieure et matrice triangulaire supérieure.
- Matrice triangulaire inférieure: se produit lorsque tous les termes au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro et les termes en dessous de la diagonale principale sont nombres réels.
Exemple numérique :
- Matrice triangulaire supérieure: se produit lorsque tous les termes au-dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro et que les termes au-dessus de la diagonale principale sont des nombres réels.
Exemple numérique :
matrice diagonale
La matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire. Dans celui-ci, les seuls termes non nuls sont ceux qui sont contenus dans la diagonale principale. Les termes au-dessus ou au-dessous de la diagonale principale sont tous égaux à zéro.
Exemples numériques de matrice diagonale :
Déterminant d'une matrice triangulaire
Étant donné une matrice triangulaire, lors du calcul du déterminant de cette matrice par La règle de Sarrus, vous pouvez voir que toutes les multiplications sont égales à zéro, sauf la multiplication du terme de la diagonale principale.
det (A) = un11 · une22· une33 + le12 · une23 · 0 + le13 · 0 · 0 - ( Le13 ·Le23 ·0 + le11 · une23 · 0 + le12 · 0· une33)
Notez que dans tous les termes sauf le premier, zéro est l'un des facteurs, et tous multiplication par zéro est égal à zéro, donc :
det (A) = un11 · une22· une33
Notez qu'il s'agit du produit entre les termes de la diagonale principale.
Quel que soit le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice triangulaire, son déterminant sera toujours égal au produit des termes de la diagonale principale.
Voir aussi: Déterminant — caractéristique appliquée aux matrices carrées
Propriétés de la matrice triangulaire
La matrice triangulaire a des propriétés spécifiques.
- 1ère propriété : le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des termes de la diagonale principale.
- 2ème propriété : le produit entre deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.
- 3ème propriété : si l'un des termes de la diagonale principale de la matrice triangulaire est égal à zéro, alors son déterminant sera égal à zéro et, par conséquent, il ne sera pas inversible.
- 4ème propriété : la matrice inverse d'une matrice triangulaire est aussi une matrice triangulaire.
- 5ème propriété: la somme de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure; de même, la somme de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.
exercices résolus
1) Étant donné la matrice A, la valeur du déterminant de A est :
a) 2
b) 0
c) 9
d) 45
e) 25
Résolution
Alternative d.
Cette matrice est triangulaire inférieure, son déterminant est donc la multiplication des termes sur la diagonale principale.
det (A) = 1·3·3·1·5 = 45
2) Jugez les affirmations suivantes.
I → Toute matrice carrée est triangulaire.
II → La somme d'une matrice triangulaire supérieure avec une matrice triangulaire inférieure est toujours une matrice triangulaire.
III → Toute matrice identité diagonale est une matrice triangulaire.
L'ordre correct est :
a) V, V, V.
b) F, F, F.
c) F, V, F.
d) F, F, V.
e) V, V, F.
Résolution
Alternative d.
I → Faux, car chaque matrice triangulaire est carrée, mais toutes les matrices carrées ne sont pas triangulaires.
II → Faux, car la somme entre une matrice triangulaire supérieure et inférieure ne donne pas toujours une matrice triangulaire.
III → Vrai, car les termes différents de la diagonale sont égaux à zéro.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm
