Nous savons que les orbites des planètes sont elliptiques, cependant, pour le déduction de la troisième loi de Kepler, considérons une orbite circulaire. Bien que la démonstration suivante soit basée sur des orbites circulaires, les résultats sont également valables pour des orbites elliptiques.
Dans la figure, nous avons une planète en orbite autour du Soleil. La force centripète (Fc) est une force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil. Les forces d'attraction exercées entre les planètes et les satellites sont négligées, ceci est dû au fait que leurs masses sont bien inférieures à la masse du Soleil.
Comme la planète de masse (m) orbite autour du Soleil, dans un mouvement circulaire et avec une vitesse angulaire ( ), la force résultante sur la planète, appelée force centripète (Fc), est donnée par :
Fç=mω2 r
Sur quoi:
Fç:force centripète;
m: masse de la planète ;
: vitesse angulaire de la planète ;
r: rayon de l'orbite de la planète.
La vitesse angulaire est donnée par :
Sur quoi:
T: période de révolution sur la planète.
En remplaçant l'équation 2 par l'équation 1, on a :
Notez que la force centripète est la force d'attraction gravitationnelle entre le Soleil et la planète. Ainsi, en considérant la masse du Soleil comme (M) et le rayon de l'orbite de la planète comme (r), qui est la distance entre le Soleil et la planète, la loi de la gravitation universelle peut être écrite comme suit :
Sur quoi:
En égalant l'équation 3 avec 4, nous aurons :
Bientôt:
Regardez l'équation 5 et notez que le terme 
est constante, car les inconnues se réfèrent à la constante universelle et à la masse du soleil, donc l'équation peut être réécrite comme suit :
T2=kr3
Sur quoi:
k: constante de proportionnalité.
L'équation 6 nous dit que le carré de la période de révolution d'une planète autour du Soleil est directement proportionnel au cube de la distance qui les sépare.
Par l'équation ci-dessus, nous pouvons conclure que plus la planète est éloignée du Soleil, plus sa période de révolution est longue.
La troisième loi de Kepler, que nous venons de déduire, est également valable par rapport à la Terre pour le mouvement de la Lune et des satellites artificiels.
Par Nathan Augusto
Diplômé en Physique
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm
