Théorème de Binet. Calcul des déterminants à l'aide du théorème de Binet

Dans les opérations entre matrices, nous savons que la multiplication matricielle est un processus long et laborieux. Ainsi, nous connaîtrons aujourd'hui un théorème qui évite d'avoir à trouver la matrice-produit pour calculer son déterminant, et dans lequel le déterminant de chaque matrice peut être utilisé séparément.
Pour cela, nous allons énoncer le théorème de Binet et voir comment il est appliqué dans le calcul des déterminants.
"Soit A et B deux matrices carrées du même ordre et AB la matrice produit, nous avons donc det (AB)=(det A).(det B)."
C'est-à-dire qu'au lieu de trouver le produit matriciel et ensuite de calculer son déterminant, il est possible de calculer le déterminant de chaque matrice et de les multiplier.
Regardons un exemple pour comprendre à quel point le travail serait dur si le théorème de Binet n'existait pas.
Exemple 1:

Exemple de matrice

Si nous n'avions pas le théorème de Binet, nous aurions à faire le processus suivant pour calculer det (A.B).
1. Trouvez la matrice de produits (A.B).

Produit matriciel

2. Calculer le déterminant de la matrice-produit.

Si vous n'aviez pas de calculatrice pour faire ces multiplications avec de gros nombres, ce serait délicat, n'est-ce pas ?
Voir le calcul du même déterminant, mais en utilisant le théorème de Binet.
Trouvons d'abord le déterminant de chaque matrice, séparément :


Comme nous l'avons vu, par le théorème de Binet, det(AB)=(det A).(det B) :

Exemple 2 :


Nous allons refaire les calculs en utilisant les deux procédures :

C'est vraiment un processus beaucoup plus facile et plus pratique que le précédent, après tout cela évite de devoir trouver la matrice-produit, ce qui est un processus long et laborieux. De plus, le déterminant matrice-produit a le plus souvent un produit de grands nombres, ce qui implique un calcul laborieux de multiplication et d'addition de plusieurs nombres.

Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil

Matrice et déterminant- Math - École du Brésil

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-binet.htm

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