Arrangement avec répétition: qu'est-ce que c'est, formule, exemples

Nous savons comment répéter l'arrangement, ou l'arrangement complet, tous les regroupements ordonnés que l'on peut former avec k éléments d'un ensemble avec non éléments, avec un élément de non peut apparaître plus d'une fois. LES analyse combinatoire c'est le domaine des mathématiques qui développe des techniques de comptage pour trouver le nombre de grappes possibles dans certaines situations.

Parmi ces regroupements, il y a l'arrangement avec répétition, présent, par exemple, dans le création de mots de passe, plaques d'immatriculation, entre autres. Pour résoudre ces situations, nous appliquons la formule d'arrangement avec répétition comme technique de comptage. Il existe différentes formules pour calculer l'arrangement répétitif et l'arrangement non répétitif, il est donc important de savoir différencier chacune de ces situations afin d'appliquer la bonne technique de comptage.

A lire aussi: Principe fondamental du comptage - concept principal de l'analyse combinatoire

Qu'est-ce que l'arrangement avec répétition ?

Il existe un arrangement avec répétition dans la production de plaques de véhicules. [1]

Dans notre vie quotidienne, nous rencontrons des situations qui impliquent des séquences et des regroupements, qui apparaissent dans le choisir des mots de passe sur les réseaux sociaux ou bancaires, ainsi que dans des numéros de téléphone ou des situations impliquant files d'attente. Quoi qu'il en soit, nous sommes entourés de situations qui impliquent ces regroupements.

Par exemple, sur les plaques d'immatriculation, qui sont composées de trois lettres et de quatre chiffres, il y a un chaîne unique par état qui identifie chacune des voitures, dans ce cas, nous travaillons avec dispositions. Lorsqu'il est possible de répéter les éléments, nous travaillons avec l'arrangement complet ou l'arrangement avec répétition.

Étant donné un ensemble avec non éléments, nous savons que l'arrangement avec répétition tous les groupements que nous pouvons former avec k éléments de cette ensemble, où un élément peut être répété plusieurs fois. Sur les plaques d'immatriculation des véhicules par exemple, c'est le nombre de plaques d'immatriculation possibles que l'on peut former en prenant en tenant compte du fait qu'ils ont trois lettres et quatre chiffres et que les lettres et les chiffres peuvent être répétés.

Pour calculer le nombre d'arrangements répétitifs possibles, nous utilisons une formule très simple.

Formule d'arrangement avec répétition

Pour connaître le montant total de l'arrangement de non éléments distincts tirés de k dans

Oh, dans une situation donnée qui permet la répétition d'un élément, on utilise la formule suivante :

AIR_non,_k = non^k

AR → arrangement avec répétition
non → nombre d'éléments dans l'ensemble
k → nombre d'éléments qui seront choisis

Voir aussi: Combinaison simple - compte tous les sous-ensembles d'un ensemble donné

Comment calculer le nombre d'arrangements répétés

Pour mieux comprendre comment appliquer la formule d'arrangement répété, voir l'exemple ci-dessous.

Exemple 1:

Un mot de passe bancaire comporte cinq chiffres composés exclusivement de chiffres, quel est le nombre de mots de passe possibles ?

Nous savons que le mot de passe est une chaîne à cinq chiffres et qu'il n'y a aucune restriction sur les répétitions, nous appliquerons donc la formule d'arrangement avec répétition. L'utilisateur doit choisir, parmi 10 chiffres, qui composera chacun des cinq chiffres de ce mot de passe, c'est-à-dire que l'on veut calculer l'agencement avec répétition de 10 éléments pris tous les cinq.

AIR_10,5 = 10⁵ = 10.000

Il y a donc 10 000 possibilités de mot de passe.

Exemple 2:

Sachant que les plaques d'immatriculation des véhicules sont composées de trois lettres et de quatre chiffres, combien de plaques d'immatriculation est-il possible de former ?

Notre alphabet se compose de 26 lettres et il y a 10 nombres possibles, alors divisons-nous en deux tableaux complets et trouvons le nombre de tableaux possibles pour les lettres et les chiffres.

AIR_26,3 = 26³ = 17.576
AIR₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Ainsi, le total des aménagements possibles est :

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Différence entre un arrangement simple et un arrangement répété

Différencier l'arrangement simple de l'arrangement avec répétition est essentiel pour résoudre les problèmes sur le sujet. L'important pour la différenciation est de se rendre compte que lorsqu'on a affaire à une situation où il y a des regroupements dont l'ordre est important, il est d'un arrangement, et si ces regroupements admettent la répétition entre termes, il s'agit d'un arrangement avec répétition, aussi appelé arrangement Achevée. Lorsque le regroupement ne permet pas la répétition, il s'agit de un arrangement simple.

La formule pour l'arrangement simple est différente de celle que nous utilisons pour l'arrangement répété.

Nous avons vu des exemples d'arrangement répété plus tôt, voyez maintenant un exemple d'arrangement simple

Exemple:

Paulo veut mettre sur son étagère trois de ses 10 livres scolaires, tous différents les uns des autres, de combien de façons peut-il organiser ces livres ?

Notez que, dans ce cas, l'ordre est important, mais il n'y a pas de répétitions, car il s'agit d'un arrangement simple. Pour trouver le nombre de regroupements possibles, il faut :

Pour en savoir plus sur cette autre forme de groupement utilisée en analyse combinatoire, lisez le texte: LESdisposition simple.

Exercices résolus :

Question 1 - (Enem) Une banque a demandé à ses clients de créer un mot de passe personnel à six chiffres, composé uniquement de chiffres de 0 à 9, pour accéder au compte courant via Internet. Cependant, un spécialiste des systèmes de sécurité électronique a recommandé à la direction de la banque de réenregistrer ses utilisateurs, en demandant à chacun d'eux, la création d'un nouveau mot de passe à six chiffres, permettant désormais l'utilisation des 26 lettres de l'alphabet, en plus des chiffres de 0 à 9. Dans ce nouveau système, chaque majuscule était considérée comme distincte de sa version minuscule. De plus, l'utilisation d'autres types de caractères était interdite.

Une façon d'évaluer un changement dans le système de mot de passe est de vérifier le coefficient d'amélioration, qui est la raison du nouveau nombre de possibilités de mot de passe par rapport à l'ancien. Le coefficient d'amélioration du changement recommandé est :

Résolution

Variante A

L'ancien mot de passe est un tableau avec répétition, car il peut être composé de tous les nombres, c'est donc un tableau de 10 éléments pris tous les six.

AIR_10,6 = 10⁶

Le nouveau mot de passe peut être composé de 10 chiffres ainsi que de lettres majuscules (26 lettres) et minuscule (26 lettres), donc le mot de passe a, pour chaque chiffre, un total de 10 + 26 + 26 = 62 possibilités. Puisqu'il y a six chiffres, nous allons calculer l'arrangement avec une répétition de 62 éléments pris tous les six.

AIR_62,6 = 62⁶

LES raison du nouveau nombre de possibilités de mot de passe par rapport à l'ancien est égal à 62⁶/10⁶.

Question 2 - (Enem 2017) Une entreprise va construire son site web et espère attirer un public d'environ un million de clients. Pour accéder à cette page, vous aurez besoin d'un mot de passe avec un format à définir par l'entreprise. Il existe cinq options de format offertes par le programmeur, décrites dans le tableau, où « L » et « D » représentent respectivement la majuscule et le chiffre.

Les lettres de l'alphabet, parmi les 26 possibles, ainsi que les chiffres, parmi les 10 possibles, peuvent être répétés dans n'importe laquelle des options.

L'entreprise souhaite choisir une option de format dont le nombre de mots de passe distincts possibles est supérieur à nombre attendu de clients, mais que ce nombre ne dépasse pas le double du nombre attendu de les clients.

Résolution

Variante E

En calculant chacune des possibilités, on veut trouver le mot de passe qui a plus d'un million de possibilités et moins de deux millions de possibilités.

I → LDDDDDD

26 ·10⁵ est supérieur à deux millions, il ne satisfait donc pas la demande de l'entreprise.

II → DDDDDD

10⁶ est égal à un million, il ne satisfait donc pas la demande de l'entreprise.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ est supérieur à deux millions, il ne satisfait donc pas la demande de l'entreprise.

IV → DDDDD

10⁵ c'est moins d'un million, donc ça ne satisfait pas la demande de l'entreprise.

V → LLLDD

26³ ·10² est compris entre un million et deux millions, ce modèle de mot de passe est donc idéal.

Crédit image

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm