O pistetulo kahden vektorin välissä on reaaliluku, joka viittaa näiden vektorien suuruuteen, toisin sanoen niiden pituuteen ja niiden väliseen kulmaan. Sen laskemiseksi on siksi tiedettävä niiden pituudet ja muodostama kulma.
Tasoa käytettäessä vektori osoittaa sijainnin, intensiteetin, suunnan ja suunnan. Siksi sitä käytetään mekaniikan (fysiikan) tutkimuksissa esineeseen kohdistuvan voiman edustajana.
Tavallinen vektorin esitys on nuoli, joka päättyy pisteeseen. Tämän pisteen koordinaattien sanotaan olevan vektorin koordinaatit alkaen pisteestä O (0,0). Kirjoitamme v = (a, b) edustamaan sitä. Täten vektori v = (1,2) piirretään seuraavasti:
Vektoriesimerkki alkaen alkuperästä
Laske tämän vektorin pituus ottamalla huomioon sen muodostama suorakulmainen kolmio ja sen projektio x-akselilla (tai y-akselilla) seuraavan kuvan mukaisesti:
Vektorin pituus v
Vektorin v pituutta kutsutaan v vektorin normi tai vektorimoduuli v ja sitä edustaa | v |. Huomaa, että vektorin v = (a, b) normi on tarkalleen yllä olevassa kuvassa esitetyn kolmion hypotenuusin mitta. Tämän mittarin laskemiseen käytämme Pythagoraan lauseen:
| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Kaksi vektoripistetuotetta
Kun otetaan huomioon kaksi vektoria u ja v, niiden välistä sisäistä tuotetta edustaa ja määritellään seuraavasti:
= | u || v | · cosθ
Tämä on eräänlainen kertolasku kahden vektorin välillä, mutta sitä ei kuitenkaan kutsuta tuotteeksi, koska se ei ole yhteinen kertolasku, koska siihen liittyy näiden kahden vektorin muodostama kulma.
Kulma kahden vektorin välillä
Ensimmäinen tulos, joka johtuu yllä olevasta määritelmästä, on kahden vektorin välinen kulma. Todellisilla luvuilla ”pistetulo”, “u-vektorinormi” ja “v-vektorinormi” on mahdollista laskea kulma vektorien u ja v välillä. Suorita tämä vain suorittamalla laskelmat:
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Siksi jakamalla sisäinen tulo vektorien u ja v normeilla löydämme todellisen luvun, joka viittaa näiden kahden vektorin kosiniin ja siten niiden väliseen kulmaan.
Huomaa, että jos kahden vektorin välinen kulma on suora, cosθ on nolla. Siksi yllä olevalla tuotteella on seuraava tulos:
= 0
Tästä voidaan päätellä, että kun otetaan huomioon kaksi vektoria u ja v, ne ovat ortogonaalisia, jos = 0.
Sisäinen tuote lasketaan vektorikoordinaateista
Ottaen huomioon kaksi vektoria u = (a, b) ja v = (c, d), pistetulo u: n ja v: n välillä saadaan seuraavasti:
= = a · c + b · d
Tuotteen sisäiset ominaisuudet
Ottaen huomioon vektorit u, v ja w sekä todellinen luku α, huomioi:
i) =
Tämä tarkoittaa, että vektorien sisäinen tulo on "kommutatiivinen".
ii) = +
Tämä ominaisuus on verrattavissa kertolaskun jakautumiseen summauksen yli.
iii)
Sisäisen tulon laskeminen u: n ja v: n välillä kerrottuna todellisella luvulla a on sama kuin sisemmän tuotteen laskeminen välillä αv ja u tai v: n ja αu: n välillä.
iv)
V: n sisäinen tulo v: llä on vain nolla, jos v on nolla-vektori.
v)
V: n ja v: n sisäinen tulo on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
