Sinä irrationaaliset luvut aiheutti suurta huolta matemaatikoissa pitkään. Tänään, jo hyvin määritelty, tunnemme irrationaalisena numerona sen, jonka desimaaliedustus on aina ei-jaksollinen desimaali. Irationaalien pääpiirre ja mikä tekee niistä eron rationaaliluvuista, on se ei voi edustaa a murto-osa.
Irrationaalilukujen tutkimusta syvennettiin, kun laskettaessa Pythagoraan lauseeseen liittyviä ongelmia löydettiin epätarkkoja juuria. Näiden epätarkkojen juurien ratkaisun etsiminen teki epätarkkojen kymmenysten olemassaolosta merkittävän. jaksollinen eli luku, jonka desimaaliosa on ääretön ja jolla ei ole hyvää järjestystä. määritelty. Tärkeimmät irrationaaliluvut ovat ei-jaksolliset desimaalit, epätarkat juuret ja π.
Lue myös: Neliöjuuri - juurtuminen, jossa radikaali indeksi on 2
Joukko irrationaalisia lukuja
Ennen irrationaalisten lukujen tutkimista tutkittiin numerosarjoja luonnollinen, kokonaislukuja ja rationaaliarvoja. Kun syvennettiin suorakulmion kolmion tutkimiseen, siitä kävi selväksi
on joitain juuria, joilla ei ole tarkkaa ratkaisua, erityisesti oli mahdollista nähdä, että epätarkat juuriratkaisut ovat numeroita tunnetaan ei-säännöllisinä kymmenyksinä.Tämän levottomuuden keskellä monet matemaatikot ovat yrittäneet epäonnistuneesti osoittaa, että epätarkat juuret ovat järkeviä lukuja ja joka voidaan esittää murto-osana, mutta ymmärrettiin, että näitä lukuja ei voitu esittää tässä muodossa. Koska rationaalilukujoukko ei tähän mennessä sisältänyt näitä lukuja, syntyi tarve luoda uusi joukko, joka tunnetaan irrationaalilukujoukona.
Luku on irrationaalinen, kun sen desimaaliesitys on ei-jaksollinen desimaali. |
Mitä ovat irrationaaliset luvut?
Jotta se olisi irrationaalinen luku, sen on täytettävä määritelmä, toisin sanoen sen desimaaliesitys on ei-jaksollinen desimaali. Ei-jaksollisten desimaalien pääominaisuus on, että niitä ei voida esittää murto-osalla, mikä osoittaa, että irrationaaliset luvut ovat päinvastaisia rationaalilukujen kanssa.
Tärkeimmät numerot, joissa on tämä ominaisuus, ovat juuret eivät ole tarkkoja.
Esimerkkejä:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Kun etsit epätarkkoja juuriratkaisuja, eli suoritat aina näiden lukujen desimaaliesityksen löydämme ei-jaksollisen desimaalin, joka tekee näistä luvuista elementtejä joukosta irrationaalinen.
Ei-tarkkojen juurien lisäksi on olemassa ei-jaksollisia desimaaleja, esimerkiksi, jos laskemme epätarkat juuret, löydämme ei-jaksollisen desimaalin.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irrationaaliset numerot esitetään yleisesti kreikkalaisilla kirjaimilla, koska kaikkia sen desimaaleja ei voida kirjoittaa.
Ensimmäinen on π (lue: pi), läsnä laskettaessa ympyrän pinta-alaa ja kehää. Sen arvo on yhtä suuri kuin 3,1415926535…
Π: n lisäksi toinen hyvin yleinen luku on ϕ (lue: fi). Häntä löytyy ongelmista, joihin liittyy osuus kultainen. Sen arvo on 1,618033 ...
Katso myös: Mitä ovat alkuluvut?
järkevä ja irrationaalinen luku
Kun analysoit numerosarjoja, on tärkeää tehdä ero rationaalilukujen ja irrationaalilukujen välillä. Näiden kahden joukon yhdistäminen muodostaa yhden matematiikan tutkituimmista ryhmistä, reaalien joukon, toisin sanoen joukon reaaliluvut se on numeroiden yhdistäminen, jotka voidaan esittää murtoina (rationaalisena) numeroiden kanssa, joita ei voida esittää murtoina (irrationaalisina).
Sarjassa järkevät luvut, on kokonaislukuja, luonnollisia, tarkat desimaalit ja jaksolliset desimaalit.
Esimerkkejä rationaaliluvuista:
-60 → kokonaisluku
2,5 → tarkka desimaali
5.1111111… → jaksollinen desimaali
Irrationaaliset luvut ovat ei-jaksollisia desimaaleja, joten ei ole yhtään järkevää ja irrationaalista lukua.
Esimerkki irrationaaliluvuista:
1,123149… → ei-jaksollinen kymmenykset
2.769235… → ei-jaksollinen kymmenykset
Operaatiot irrationaalisilla numeroilla
yhteen-ja vähennyslasku
THE lisäys ja vähennyslasku kahdesta irrationaalisesta luvusta on yleensä juuri edustettuina, paitsi jos käytetään näiden lukujen desimaaliarvotusta, esimerkiksi:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Emme voi lisätä tai vähentää arvoja radikaalien takia, joten olemme juuri jättäneet operaation ilmoitetuksi.
Desimaaliesityksissä ei myöskään ole mahdollista suorittaa tarkkaa summaa, joten Kahden irrationaaliluvun lisääminen edellyttää järkevää likiarvoa., ja tämä esitys valitaan näiden tietojen tarkkuustarpeen mukaan. Mitä enemmän desimaaleja pidämme, sitä lähempänä tarkka summa saadaan.
Havainto:irrationaalilukujen joukkoa ei ole suljettu yhteenlaskemiseen tai vähentämiseen, tämä tarkoittaa, että kahden irrationaaliluvun summa voi johtaa lukuun, joka ei ole järkevä. Esimerkiksi, jos lasketaan irrationaaliluvun ero sen vastakohdalla, meidän on:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Tiedämme, että 0 ei ole irrationaaliluku.
Kertolasku ja jako
Kertolasku ja jako irrationaalisten lukujen lukumäärä voidaan tehdä, jos esitys on a säteilykuitenkin, samoin kuin lisäys, desimaaliesityksessä, toisin sanoen kertomalla tai jakamalla kaksi desimaalia, vaaditaan tämän luvun järkevä lähentäminen.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Huomaa myös, että esimerkissä b, 4 on rationaaliluku, mikä tarkoittaa, että kahden irrationaalisen luvun kertolasku ja jakaminen eivät ole suljettuja, ts. Niillä voi olla järkevä tulos.
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Tarkista seuraavat numerot:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Nämä ovat irrationaalisia lukuja:
A) Vain I, IV ja V
B) Vain II, III ja VI
C) Vain II, IV ja VI
D) Vain I, II, III ja VI
E) Vain III, IV, V ja VI
Resoluutio
Vaihtoehto B
I → luku on tarkka desimaali, järkevä.
II → luku on ei-jaksollinen, irrationaalinen desimaali.
III → π on irrationaalinen, ja sen kaksinkertainen, toisin sanoen 2π, on myös irrationaalinen.
IV → luku on jaksollinen, järkevä desimaali.
V → tarkka, järkevä juuri.
VI → juuri ei ole tarkka, irrationaalinen.
Kysymys 2 - Arvioi seuraavat lausunnot:
I - Reaalilukujoukko on rationaalisten ja irrationaalisten yhdistys;
II - Kahden irrationaaliluvun summa voi olla rationaaliluku;
III - Kymmenykset ovat irrationaalisia lukuja.
Lausuntoja analysoimalla voidaan sanoa, että:
A) Ainoa väite I on totta.
B) Ainoa väite II on totta.
C) Ainoa väite III on totta.
D) Ainoastaan väitteet I ja II ovat totta.
E) Kaikki väitteet ovat totta.
Resoluutio
Vaihtoehto D
I → Totta, koska reaalilukujoukon määritelmä on unioni rationaalisen ja irrationaalisen välillä.
II → Totta, kun lisätään luku sen vastakohtaan, tuloksena on luku 0, joka on järkevä.
III → Väärät, jaksottaiset kymmenykset ovat irrationaalisia.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm