1. ja 2. asteen yhtälöjärjestelmä

Yhtälöjärjestelmät ovat vain strategioita, jotka antavat meille mahdollisuuden ratkaista ongelmia ja tilanteita, joissa on enemmän kuin yksi muuttuja ja vähintään kaksi yhtälöä. Jos järjestelmässä olevat yhtälöt sisältävät vain lisäys ja vähennyslasku tuntemattomista sanomme, että se on a 1. asteen yhtälöjärjestelmä. Voimme ratkaista tämän järjestelmän kahdella tavalla graafinen esitys tai algebrallisesti. Algebrallisessa muodossa meillä on kaksi vaihtoehtoa, menetelmä lisäys tai korvaus.

Jos kyseessä on a kertolasku tuntemattomien välillä tai yksinkertaisesti, että yksi heistä esiintyy eksponenttivoimana 2, sanomme, että järjestelmään liittyy myös toisen asteen yhtälöitä. Tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi strategiat ovat samat kuin edellä mainittiin, mutta ratkaisuja voi olla enemmän tässä tapauksessa.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta:

1. esimerkki:

Huomaa, että tässä esimerkissä yhtälö x · y = 15 tarjoaa tuotteen tuntemattomien joukossa

x ja y, joten tämä on toisen asteen yhtälö. Ratkaise se käyttämällä korvausmenetelmä. Toisessa yhtälössä eristämme x:

2x - 4y = - 14
2x = 4y - 14
x = 4y - 14
2
x = 2y - 7

Nyt vaihdamme x = 2y - 7 ensimmäisessä yhtälössä:

x · y = 15
(2v - 7) · y = 15
2v² - 7v - 15 = 0

Mahdollisten arvojen etsiminen y, käytämme Bhaskaran kaavaa:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = - b ± √Δ​
2.

y = – (– 7) ± √169
2.2

y = 7 ± 13
4

y1 = 7 + 13 4 y1 = 20 4 y1 = 5

y2 = 7 – 13 4 y2 = – 6 4 y2 = – 3 2

Nyt voimme korvata löydetyt arvot y sisään x · y = 15 arvon määrittämiseksi x:

x1 · Y1 = 15 x1 · 5 = 15 x1 = 15 5 x1 = 3

x2 · Y2 = 15 x2 · (– 3) = 15 2  x2 = 15. (– 2) 3 x2 = – 10

Voimme sanoa, että yhtälöllä on kaksi tyyppistä ratkaisua (x, y), ovatko he: (3, 5) ja (– 10, ^{– 3}/₂).

2. esimerkki:

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi käytämme lisäysmenetelmä. Tätä varten kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla – 2. Järjestelmämme näyttää tältä:

Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)

(- 2x² + 2x²) + (- 4y² - 3y²) = (- 178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7v2 = 28
y² = 28
7
y = ± √4
y₁ = + 2
y₂ = – 2

Nyt voimme korvata löydetyt arvot y ensimmäisessä yhtälössä arvon saamiseksi x:

x² + 2v1² = 89 x² + 2. (2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x1 = + 9 x2 = – 9

x² + 2v2² = 89 x² + 2. (- 2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x3 = + 9 ​x4 = – 9

Voimme sanoa, että yhtälöllä on neljä ratkaisua: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) ja (– 9, – 2).

Kolmas esimerkki:

Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisemisessa käytämme korvausmenetelmä. Eristetään toisessa yhtälössä x:

2x - 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3v + 2
2
x = 3v + 1
2

korvataan x ensimmäisessä yhtälössä:

x² + 2y² = 1
(^3v/₂ + 1) ² + 2y² = 1
9v² + 3v + 1 + 2v2 = 1
4

Kerrotaan koko yhtälö luvulla 4:

9v2 + 12v + 4 + 8v2 = 4
17v2 + 12v = 0

Mahdollisten arvojen etsiminen y, käytetään Bhaskaran kaavaa:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = - b ± √Δ​
2.
y = – 12 ± √144
2.17
y = – 12 ± 12
34

Y1 = – 12 + 12 34 y1 = 0 34 y1 = 0

y2 = – 12 – 12 34 y2 = – 24 34 y2 = – 12 17

Korvataan löydetyt arvot kohteelle y sisään 2x - 3y = 2, voimme määrittää arvot x:

2x - 3v1 = 2 2x - 3 · 0 = 2 2x - 0 = 2 x = 2 2 x1 = 1

2x - 3v2 = 2 2x - 3 · (^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 x2 = – 1 17

Voimme sanoa, että yhtälöllä on kaksi tyyppistä ratkaisua (x, y), ovatko he: (1, 0) ja (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

Kirjailija: Amanda Gonçalves
Valmistunut matematiikasta

Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "1. ja 2. asteen yhtälöjärjestelmä"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm. Pääsy 28. kesäkuuta 2021.