Kaikki olemassa olevat numerot luotiin luomishetkellä ihmisten tarpeiden mukaan, kuten luonnollisten numeroiden tapauksessa, mikä luotiin laskemaan ja valvomaan "varastoja" ja irrationaalisia lukuja, jotka perustettiin ratkaistakseen juuret. Juuri juuriin liittyvät ongelmat alkoivat tuntea kompleksiluvut.
Neliöyhtälö x2 + 4x + 5 = 0: lla ei ole todellisia juuria. Tämä tarkoittaa, että reaalilukujoukon sisällä on mahdotonta löytää arvoja x: lle, jotka vastaavat tämän yhtälön ensimmäistä termiä toiseen. Havaitsemme tätä ilmiötä Bhaskaran kaavan alusta:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Kun negatiivinen arvo on löydetty Δ: lle, on mahdotonta edetä Bhaskaran kaavan kanssa, koska se edellyttää, että √Δ (deltajuuri) lasketaan. Nyt tiedämme, että √– 4 ei voida laskea, koska ei ole olemassa todellista lukua, joka itsestään kerrottuna johtaa - 4: ään.
Kompleksiluvut luotiin vastaamaan näitä tarpeita. Sen luomisesta lähtien √– 4 voidaan kehittää seuraavasti:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) ymmärretään uuden tyyppisenä numerona. Kaikkien näiden numeroiden joukko tunnetaan kompleksilukujen joukona, ja jokainen tämän uuden joukon edustaja määritellään seuraavasti: Olkoon A kompleksiluku,
A = + Bminä, missä ja B ovat reaalilukuja ja i = √ (- 1)
Tässä määritelmässä Se tunnetaan nimellä todellinen osa A: sta ja B Se tunnetaan nimellä kuvitteellinen osa A.
Kompleksilukujen ominaisuudet
Reaaliluvut edustavat kokonaisuudessaan ja geometrisesti viivaa. Kompleksiluvut puolestaan edustavat koko tasoa. Karteesinen taso, jota käytetään edustamaan kompleksilukuja, tunnetaan nimellä Argand-Gauss-taso.
Jokainen kompleksiluku voidaan esittää Argand-Gauss-tasossa koordinaattipisteinä (a, b). Etäisyyttä kompleksilukua edustavasta pisteestä pisteeseen (0,0) kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi., joka on määritelty:
Olkoon A = a + bi kompleksiluku, sen moduuli on | A | = a2 + b2
Kompleksiluvuilla on myös käänteinen elementti, jota kutsutaan konjugaatiksi. Se määritellään seuraavasti:
Olkoon A = a + bi kompleksiluku,
Ā = a - bi on tämän luvun konjugaatti.
Ominaisuus 1: Kompleksiluvun ja sen konjugaatin tulo on yhtä suuri kuin kompleksiluvun reaaliosan ja kuvitteellisen osan neliöiden summa. Matemaattisesti:
AĀ = a2 + b2
Esimerkki: Mikä on A = 2 + 5i: n tulo sen konjugaatilla?
Suorita vain laskenta: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Jos päätämme kirjoittaa A: n konjugaatin ja suorittaa sen jälkeen kertomisen AĀ, meillä olisi:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
A = 4 + 25
A = 29
Toisin sanoen ehdotettua ominaisuutta käyttämällä on mahdollista välttää pitkä laskenta sekä virheet näiden laskelmien aikana.
Ominaisuus 2: Jos kompleksiluku A on yhtä suuri kuin sen konjugaatti, niin A on reaaliluku.
Olkoon A = a + bi. Jos A = Ā, niin:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Siksi b = 0
Siksi on pakollista, että jokainen sen konjugaattia vastaava kompleksiluku on myös reaaliluku.
Ominaisuus 3: Kahden kompleksiluvun summan konjugaatti on yhtä suuri kuin näiden lukujen konjugaattien summa., tuo on:
_____ _ _
A + B = A + B
Esimerkki: Mikä on 7 + 9i: n ja 2 + 4i: n summan konjugaatti?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Voit lisätä ensin ja sitten laskea tuloksen konjugaatti tai tehdä ensin konjugaatit ja lisätä tulokset myöhemmin.
Ominaisuus 4: Tuotteen konjugaatti kahden kompleksiluvun välillä on yhtä suuri kuin niiden konjugaattien tulo, eli:
__ _ _
AB = A · B
Esimerkki: Mikä on konjugaattien A = 7i + 10 ja B = 4 + 3i tulos?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10-7i) · (4-3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Harjoituksen tarpeesta riippuen on mahdollista kertoa ensin ja laskea konjugaatti jälkikäteen tai näyttää konjugaatit ennen kertomisen suorittamista.
Ominaisuus 5: Kompleksiluvun A ja sen konjugaatin tulo on yhtä suuri kuin A-moduulin neliö, eli:
AĀ = | A |2
Esimerkki: A = 2 + 6i, sitten AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Huomaa, että konjugaattia ei ole tarpeen löytää ja suorittaa kertolasku jakamisen lisääntymisominaisuuden kautta (tunnetaan nimellä pieni suihkupää).
Ominaisuus 6: Kompleksiluvun moduuli on yhtä suuri kuin sen konjugaatin moduuli. Toisin sanoen:
| A | = | Ā |
Esimerkki: Etsi kompleksiluvun A = 3 + 4i konjugaatin moduuli.
Huomaa, että konjugaattia ei tarvitse löytää, koska moduulit ovat samat.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Jos | Ā | lasketaan, ainoa muutos olisi a B negatiivinen neliö, jolla on positiivinen tulos. Siten tulos olisi edelleen 25: n juuri.
Ominaisuus 7: Jos A ja B ovat kompleksilukuja, niin A: n ja B: n moduulitulo on yhtä suuri kuin A: n ja B: n tulon moduuli.eli:
| AB | = | A || B |
Esimerkki: Olkoon A = 6 + 8i ja B = 4 + 3i, kuinka paljon on | AB |?
Huomaa, että kompleksilukuja ei tarvitse kertoa ennen moduulin laskemista. On mahdollista laskea kunkin kompleksiluvun moduuli erikseen ja kertoa sitten vain tulokset.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm