THE kombinatorinen analyysi on laskentasääntöihin liittyvä matematiikan tutkimusala. 1700-luvun alussa noppia ja kortteja sisältävien pelien tutkiminen sai laskuteorioiden kehittymään suuresti.
Combinatoricsin työ mahdollistaa yhä tarkemman laskennan toteuttamisen.Laskennan perusperiaate (PFC), tekijä ja ryhmittelytyypit ovat esimerkkejä kombinatorisessa analyysissä tutkituista käsitteistä, jotka tarjoamisen lisäksi suurempi tarkkuus auttaa eimuiden matematiikan alueiden, kuten todennäköisyys ja O Newtonin binomi.
Lue myös: järjestely tai çyhdistelmä?
Mille kombinatorinen analyysi on tarkoitettu?
Kombinatorinen analyysi liittyy laskentaprosessiin, ts. Tämän matematiikan tutkimuksen avulla voimme kehittää työkaluja, jotka auttavat meitä suorittamaan laskee tehokkaammin. Katsotaanpa tyypillistä laskemisongelmaa, katso:
Esimerkki 1
Tarkastellaan kolmea kaupunkia A, B ja C, jotka on yhdistetty valtateillä R1, R2, R3, R4 ja R5. Määritä, kuinka monella tavalla voimme päästä kaupungista A kaupunkiin C kaupungin kautta.
Huomaa, että meidän on lähdettävä kaupungista A ja mentävä kaupunkiin B, ja vasta sitten voimme matkustaa kaupunkiin C, joten analysoidaan kaikki mahdollisuuksia toteuttaa tapahtuma moottoriteitä seuraten.
1. tapa: R1 → R3
2. tapa: R1 → R4
3. tapa: R1 → R5
4. tapa: R2 → R3
5. tapa: R2 → R4
6. tapa: R2 → R5
Joten meillä on kuusi erilaista tapaa päästä kaupungista A kaupunkiin kaupunkiin C kaupungin B kautta. Huomaa kuitenkin, että ehdotettu ongelma on suhteellisen yksinkertainen ja että suoritettu analyysi oli vähän työlästä. Joten tästä lähtien aiomme tutkia kehittyneempiä työkaluja, joiden avulla ongelmat voidaan ratkaista paljon vähemmän työllä.
Laskennan perusperiaate (PFC)
Tarkastellaan tapahtumaa E, joka voidaan suorittaa n erillisessä ja peräkkäisessä vaiheessa. Ajattele nyt, että ensimmäisen vaiheen suorittamismahdollisuuksien määrä on yhtä suuri kuin P1Kuvittele myös, että toisen vaiheen toteuttamismahdollisuuksien määrä on P.2ja niin edelleen, kunnes saavutamme viimeisen vaiheen, jolla on Pei mahdollisuudet suorittaa.
Laskennan perusperiaatteessa (PFC) todetaan, että kokonaismahdollisuudet tapahtuman pitämisen E antaa:
P1 · P2 ·… · Pei
Täten kokonaismäärä saadaan kunkin tapahtuman E muodostavan vaiheen mahdollisuuksien tulona. Huomaa, että tapahtuman E pitämisen kokonaismahdollisuuksien määrittämiseksi on tiedettävä kunkin vaiheen kokonaismahdollisuudet.
Esimerkki 2
Toistetaan esimerkki 1 käyttäen laskennan perusperiaatetta.
Tarkastellaan esimerkin 1 kuvaa.
Huomaa, että tapahtuma voidaan järjestää kahdessa vaiheessa, ensimmäinen kulkee kaupungista A kaupunkiin B ja toinen kaupungista B kaupunkiin C. Ensimmäisen vaiheen suorittamiseksi meillä on kaksi mahdollisuutta (tiet R1 ja R2), ja toisen vaiheen suorittamiseksi meillä on kolme mahdollisuutta (R3, R4 ja R5).
1. vaihe → kaksi mahdollisuutta
2. vaihe → kolme mahdollisuutta
Laskennan perusperiaatteen mukaan meidän on moninkertaistua kunkin vaiheen kokonaismahdollisuudet.
2 · 3
6
Siksi mennä kaupungista A kaupunkiin kaupunkiin B kaupungin kautta on yhteensä kuusi mahdollisuutta.
Esimerkki 3
Kuinka monella tavalla kolme olympiamitalia voidaan jakaa kilpailussa maastopyörä viiden kilpailijan kanssa?
Mitalien jakamisen järjestäminen on tapahtuma, joka voidaan toteuttaa kolmessa vaiheessa. Ensimmäinen askel on analysoida kultamitalin saaneiden kokonaismahdollisuudet eli viisi mahdollisuuksia.
Toinen vaihe on analysoida mahdollisuuksia, kuka saa hopeamitalin, toisin sanoen neljä, koska ensimmäinen paikka ei pääse tähän valintaan. Kolmas vaihe on analysoida kokonaismahdollisuudet, kuka saa pronssimitalin, toisin sanoen kolme, koska kaksi ensimmäistä on jo valittu.
1. vaihe → viisi mahdollisuutta
2. vaihe → neljä mahdollisuutta
3. vaihe → kolme mahdollisuutta
Joten laskennan perusperiaatteella meillä on:
5 · 4 · 3
60 mahdollisuutta
Katso myös: Lisäaineiden laskentaperiaate - yhden tai useamman sarjan yhdistäminen
Factorial
O tekijä on tapa hajottaa luonnollisen luvun. Laskettaessa laskennan kerroin, kerro se vain kaikkien edeltäjiensä kanssa numeroon 1 asti. Faktooriaa edustaa huutomerkki - "!".
Katso joitain esimerkkejä joidenkin lukujen kertoimen laskemisesta.
) 2! (kuuluu: kaksi tekijää)
Laskennassa kerrotaan vain tekijän mukana oleva luku kaikkien edeltäjiensä kanssa numeroon 1 asti seuraavasti:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Muodollisesti voimme kirjoittaa kertoimen seuraavasti:
Tarkastellaan luonnollista lukua n> 2. N: n kerroin on merkitty n: llä! ja saadaan kertomalla n kaikilla sen positiivisilla kokonaislukutaidoilla.
ei! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Huomaa seuraavat tekijät:
4! ja 5!
Suorita nyt molempien kehittäminen:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Huomaa, että kehitettäessä 5! näyttää kehityksen 4!. Joten voimme kirjoittaa 5! täten:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Esimerkki 4
Laske kertoimen sekuntiulvonta:
Katso, että 15! kehitettiin 13: een saakka. Huomaa myös, että murto-osan laskimessa elementit kerrotaan, joten voimme "leikata" 13!: N, jolloin tuloksena on vain 15 · 14.
Havainto:0! = 1
Tyyppien ryhmittely
Jotkut laskentaongelmat ovat monimutkaisempia ja helpommin ratkaistavissa uusien työkalujen avulla. Näitä työkaluja kutsutaan ryhmittelyksi, koska ne ryhmittävät elementtejä eri tavoin, mikä helpottaa laskentaprosessia. Nämä ryhmittelyt ovat: yksinkertainen järjestely, permutaatio ja yksinkertainen yhdistelmä.
yksinkertainen järjestely
Tarkastellaan joukkoa, jossa on n erillistä elementtiä. kutsutaan sitä järjestely n: stä p: stä p: hen otetut elementit, mikä tahansa p: n järjestämä sekvenssi ja elementtien joukosta valitut erilliset elementit.
Siten p-elementtien muodostamien osajoukkojen lukumäärä on n elementin järjestely p: stä p: hen. Kaava, jonka avulla voimme laskea järjestelyjen lukumäärän, annetaan seuraavasti:
Esimerkki 5
Laske A: n arvo4,2 + A5,2.
Laskettaessa lausekkeen arvo määritetään kukin matriisista ja lisätään sitten nämä arvot yhteen. Jokaisen taulukon arvon määrittämiseksi meidän on korvattava kaavan arvot.
Huomaa, että n = 4 ja p = 2, molemmat on korvattu kaavassa. Nyt meidän on laskettava viiden elementin taulukon arvo kaksi kerrallaan.
Joten meidän on:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Esimerkki 6
Kuinka monta erillistä nelinumeroista luonnollista lukua voidaan muodostaa käyttämällä numeroita 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9?
Tässä tehtävässä voimme käyttää yksinkertaista järjestelyä vuodesta 2435 ≠ 4235. Näemme, että joissakin tapauksissa elementtien järjestys ei erota niitä, joten emme voi käyttää järjestelyä.
Koska haluamme määrittää muodostettavien lukujen kokonaismäärän, huomaa, että alkioiden kokonaismäärä on yhtä suuri kuin kahdeksanja haluamme ryhmitellä ne neljästä neljään, joten:
yksinkertainen permutaatio
Tarkastellaan joukkoa, jossa on n elementtiä. kutsutaan sitä yksinkertainen permutaatio n elementistä jokainen n elementin järjestely n: stä n: ään. Joten meidän on:
Joten käsitteiden välillä ei ole sekaannusta, merkitään n elementin yksinkertainen permutaatio P: lläei. Joten meidän on:
Pei = n!
Esimerkki 7
Laske P7 ja P3.
Näiden permutaatioiden laskemiseksi meidän on korvattava kaavan arvot. Katso:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Esimerkki 8
Määritä, kuinka monta anagrammaa voi olla sanassa Brasilia.
Ymmärrämme anagrammina kaikki mahdolliset sanan kirjainten siirrot, esimerkiksi "Lisarb" on a anagrammi sanan Brasilia. Anagrammien lukumäärän määrittämiseksi meidän on laskettava sanan kirjainten permutaatio, joten meidän on:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Siksi sanassa Brasilia on 720 anagrammia.
Pääsy myös: Permutaatio toistuvilla elementeillä
yksinkertainen yhdistelmä
Tarkastellaan joukkoa A, jossa on n erillistä elementtiä. kutsutaan sitä yhdistelmä n elementistä, jotka on otettu p: stä p: ään mikä tahansa p-elementtien muodostama A-osajoukko. Kaava yhdistelmän laskemiseksi saadaan:
Esimerkki 9
Laske 10 elementin yhdistelmä, joka on otettu neljästä neljään.
Esimerkki 10
Kuinka monta nelikulmaiset voimmeko muodostaa huippujen kanssa pisteissä A, B, C, D, E ja F?
Huomaa, että ABCD-nelikulmio on tässä yhteydessä sama kuin CDBA-nelikulmainen, joten meidän tulisi käyttää yhdistelmää eikä matriiseja. Meillä on yhteensä kuusi pistettä ja haluamme yhdistää ne neljä kerrallaan näin:
Siksi voimme muodostaa 15 erillistä nelikulmaista.
Kombinatorinen analyysi ja todennäköisyys
Tutkimus todennäköisyys liittyy läheisesti kombinatorisen analyysin tutkimukseen.. Joissakin todennäköisyysongelmissa on tarpeen määrittää näytetila, joka koostuu joukosta, jonka muodostavat tietyn tapahtuman kaikki mahdolliset tulokset.
Joissakin tapauksissa näytetila E kirjoitetaan hyvin suoraan, kuten kohtuullisen kolikon kääntöpuolella, jossa mahdolliset tulokset ovat päät tai hännät ja merkitään seuraavasti:
E = {päät, hännät}
Kuvittele nyt seuraava tilanne: muotti heitetään kolme peräkkäistä kertaa ja olemme kiinnostuneita määrittämään näytetilan tälle kokeelle. Huomaa, että kaikkien mahdollisuuksien muistiin kirjoittaminen ei ole enää yksinkertainen tehtävä, vaan meidän on käytettävä laskennan (PFC) perusperiaatetta. Tapahtuma voidaan suorittaa kolmessa vaiheessa, kussakin niistä meillä on kuusi mahdollisuutta, koska muotilla on kuusi kasvoa, kuten tämä:
1. vaihe → kuusi mahdollisuutta
2. vaihe → kuusi mahdollisuutta
3. vaihe → kuusi mahdollisuutta
PFC: n mukaan meillä on kaikki mahdollisuudet:
6 · 6 · 6
216
Joten voimme sanoa, että tämän tapahtuman näytetila on 216.
Katso, että todennäköisyystutkimusta varten se on tarvitaan perustiedot kombinatorisesta analyysistä., koska ilman kokeen näytetilaa on mahdotonta ratkaista suurinta osaa todennäköisyysharjoituksista. Lisätietoja tästä matematiikan alasta lue teksti:Todennäköisyys.
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Määritä sanan linna anagrammien määrä. Määritä sitten c-kirjaimella alkavien anagrammien määrä.
Resoluutio
Anagrammien lukumäärän määrittämiseksi meidän on laskettava kirjainten määrän permutaatio seuraavasti:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Sanassa on 5040 anagrammaa. C-kirjaimella alkavien anagrammien määrän määrittämiseksi meidän on korjattava kirjain ja laskettava muiden anagrammit, katso:
Ç__ __ __ __ __ __
Kun korjaamme kirjaimen c, huomaa, että permutaation laskemiseksi on jäljellä kuusi kenttää, kuten tämä:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Joten meillä on 720 anagrammia sanasta linna, joka alkaa kirjaimella c.
kysymys 2 - Luokassa on viisi miestä ja seitsemän naista. Kuinka monta kolmen miehen ja neljän naisen ryhmää voidaan muodostaa?
Resoluutio
Ensinnäkin, katso, että järjestyksellä, jolla valitsemme ihmisiä, ei ole merkitystä, esimerkiksi Joãon muodostama ryhmä, Marcos ja José ovat sama ryhmä, jonka muodostavat Marcos, João ja José, joten meidän on käytettävä yhdistelmää laskeminen.
Lasketaan erikseen ryhmien määrä, jonka miehet ja naiset voivat muodostaa, ja ryhmissä Kerrotaan sitten nämä tulokset, koska jokainen miesten ryhmä voi sekoittua jokaisen ryhmän kanssa naiset.
Miehet
Yhteensä → 5
Määrä ryhmässä → 3
Naiset
Yhteensä → 7
Määrä ryhmässä → 4
Siksi kolmen miehen ja neljän naisen muodostamien ryhmien kokonaismäärä on:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
